Animação representando o processo de completar o quadrado Na álgebra elementar , completar o quadrado é uma técnica para converter um polinômio quadrático da forma
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
para a forma
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k}
para alguns valores de
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
O completamento de quadrado é usado em
Em matemática , o completamento de quadrado é frequentemente aplicado em qualquer cálculo envolvendo polinômios quadráticos.
A fórmula na álgebra elementar para calcular o quadrado de um binômio é:
(
x
+
p
)
2
=
x
2
+
2
p
x
+
p
2
.
{\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.}
Por exemplo:
(
x
+
3
)
2
=
x
2
+
6
x
+
9
(
p
=
3
)
(
x
−
5
)
2
=
x
2
−
10
x
+
25
(
p
=
−
5
)
.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}
Em qualquer quadrado perfeito, o coeficiente de
x
{\displaystyle x}
p
{\displaystyle p}
termo constante é igual a
p
2
{\displaystyle p^{2}}
Considere o seguinte polinômio quadrático:
x
2
+
10
x
+
28.
{\displaystyle x^{2}+10x+28.}
Esse quadrático não é um quadrado perfeito , pois 28 não é o quadrado de 5:
(
x
+
5
)
2
=
x
2
+
10
x
+
25.
{\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.}
No entanto, é possível escrever o quadrático original como a soma desse quadrado e uma constante:
x
2
+
10
x
+
28
=
(
x
+
5
)
2
+
3.
{\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}
Isso é chamado de completar o quadrado .
Dada qualquer quadrática mônica
x
2
+
b
x
+
c
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c,}
é possível formar um quadrado com os mesmos dois primeiros termos:
(
x
+
1
2
b
)
2
=
x
2
+
b
x
+
1
4
b
2
.
{\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}
Esse quadrado difere do quadrático original apenas no valor do termo constante. Portanto, podemos escrever
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
+
1
2
b
)
2
+
k
,
{\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}
onde
k
=
c
−
b
2
4
{\displaystyle k\,=\,c-{\frac {b^{2}}{4}}}
x
2
+
6
x
+
11
=
(
x
+
3
)
2
+
2
x
2
+
14
x
+
30
=
(
x
+
7
)
2
−
19
x
2
−
2
x
+
7
=
(
x
−
1
)
2
+
6.
{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}
Dado um polinômio quadrático da forma
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle ax^{2}+bx+c}
é possível fatorar o coeficiente a e completar o quadrado para o polinômio mônico resultante.
Exemplo:
3
x
2
+
12
x
+
27
=
3
(
x
2
+
4
x
+
9
)
=
3
(
(
x
+
2
)
2
+
5
)
=
3
(
x
+
2
)
2
+
15
{\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}
Isso nos permite escrever qualquer polinômio quadrático na forma
a
(
x
−
h
)
2
+
k
.
{\displaystyle a(x-h)^{2}+k.}
O resultado do preenchimento do quadrado pode ser escrito como uma fórmula. Para o caso geral:[ 1]
a
x
2
+
b
x
+
c
=
a
(
x
−
h
)
2
+
k
,
onde
h
=
−
b
2
a
e
k
=
c
−
a
h
2
=
c
−
b
2
4
a
.
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x-h)^{2}+k,\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {b}{2a}}\quad {\text{e}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}.}
Especificamente, quando
a
=
1
{\displaystyle a=1}
x
2
+
b
x
+
c
=
(
x
−
h
)
2
+
k
,
onde
h
=
−
b
2
e
k
=
c
−
b
2
4
.
{\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x-h)^{2}+k,\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {b}{2}}\quad {\text{e}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}.}
O caso das matrizes é muito semelhante:
x
T
A
x
+
x
T
b
+
c
=
(
x
−
h
)
T
A
(
x
−
h
)
+
k
onde
h
=
−
1
2
A
−
1
b
e
k
=
c
−
1
4
b
T
A
−
1
b
{\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k\quad {\text{onde}}\quad h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{e}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}
onde
A
{\displaystyle A}
Se
A
{\displaystyle A}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
h
=
−
(
A
+
A
T
)
−
1
b
e
k
=
c
−
h
T
A
h
=
c
−
b
T
(
A
+
A
T
)
−
1
A
(
A
+
A
T
)
−
1
b
{\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b\quad {\text{e}}\quad k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}
Gráficos de funções quadráticas deslocados para a direita por
h
=
{
0
,
5
,
10
,
15
}
{\displaystyle h=\{0,5,10,15\}}
.
Gráficos de funções quadráticas deslocadas para cima por
k
=
{
0
,
5
,
10
,
15
}
{\displaystyle k=\{0,5,10,15\}}
.
Os gráficos das funções quadráticas deslocaram-se para cima e para a direita em 0, 5, 10 e 15.
Na geometria analítica , o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola no plano
x
y
{\displaystyle xy}
. Dado um polinômio quadrático da forma
(
x
−
h
)
2
+
k
ou
a
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle (x-h)^{2}+k\quad {\text{ou}}\quad a(x-h)^{2}+k}
os números
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Ou seja,
h
{\displaystyle h}
x
{\displaystyle x}
eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação
x
=
h
{\displaystyle x=h}
k
{\displaystyle k}
a
<
0
{\displaystyle a<0}
Uma maneira de ver isso é notar que o gráfico da função
f
(
x
)
=
x
2
{\displaystyle f(x)=x^{2}}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
f
(
x
−
h
)
=
(
x
−
h
)
2
{\displaystyle f(x-h)=(x-h)^{2}}
h
{\displaystyle h}
(
h
,
0
)
{\displaystyle (h,0)}
f
(
x
)
+
k
=
x
2
+
k
{\displaystyle f(x)+k=x^{2}+k}
k
{\displaystyle k}
(
0
,
k
)
{\displaystyle (0,k)}
f
(
x
−
h
)
+
k
=
(
x
−
h
)
2
+
k
{\displaystyle f(x-h)+k=(x-h)^{2}+k}
h
{\displaystyle h}
k
{\displaystyle k}
(
h
,
k
)
{\displaystyle (h,k)}
Completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:
x
2
+
6
x
+
5
=
0
,
{\displaystyle x^{2}+6x+5=0,}
O primeiro passo é completar o quadrado:
(
x
+
3
)
2
−
4
=
0.
{\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.}
Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:
(
x
+
3
)
2
=
4.
{\displaystyle (x+3)^{2}=4.}
Então
x
+
3
=
−
2
ou
x
+
3
=
2
,
{\displaystyle x+3=-2\quad {\text{ou}}\quad x+3=2,}
e portanto
x
=
−
5
ou
x
=
−
1.
{\displaystyle x=-5\quad {\text{ou}}\quad x=-1.}
Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o
x
2
{\displaystyle x^{2}}
1
{\displaystyle 1}
Ao contrário dos métodos que envolvem fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais , o completamento do quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes forem irracionais ou complexas . Por exemplo, considere a equação
x
2
−
10
x
+
18
=
0.
{\displaystyle x^{2}-10x+18=0.}
Completar o quadrado dá
(
x
−
5
)
2
−
7
=
0
,
{\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,}
então
(
x
−
5
)
2
=
7.
{\displaystyle (x-5)^{2}=7.}
Logo,
x
−
5
=
−
7
ou
x
−
5
=
7
,
{\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{ou}}\quad x-5={\sqrt {7}},}
Em linguagem terser:
x
−
5
=
±
7
.
{\displaystyle x-5=\pm {\sqrt {7}}.}
então
x
=
5
±
7
.
{\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.}
Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:
x
2
+
4
x
+
5
=
0
(
x
+
2
)
2
+
1
=
0
(
x
+
2
)
2
=
−
1
x
+
2
=
±
i
x
=
−
2
±
i
.
{\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}
Para uma equação que envolve uma quadrática não-mônica, o primeiro passo para resolvê-las é dividir pelo coeficiente de
x
2
{\displaystyle x^{2}}
2
x
2
+
7
x
+
6
=
0
x
2
+
7
2
x
+
3
=
0
(
x
+
7
4
)
2
−
1
16
=
0
(
x
+
7
4
)
2
=
1
16
x
+
7
4
=
1
4
ou
x
+
7
4
=
−
1
4
x
=
−
3
2
ou
x
=
−
2.
{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{ou}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x=-2.\end{array}}}
A aplicação desse procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática .
O completamento de quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral da forma
∫
d
x
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
usando as integrais básicas
∫
d
x
x
2
−
a
2
=
1
2
a
ln
|
x
−
a
x
+
a
|
+
C
e
∫
d
x
x
2
+
a
2
=
1
a
arctan
(
x
a
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{e}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}
Por exemplo, considere a integral
∫
d
x
x
2
+
6
x
+
13
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}
Completar o quadrado no denominador fornece:
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
2
2
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}
Agora, isso pode ser avaliado usando a substituição
u
=
x
+
3
{\displaystyle u=x+3}
∫
d
x
(
x
+
3
)
2
+
4
=
1
2
arctan
(
x
+
3
2
)
+
C
.
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}
Considere a expressão
|
z
|
2
−
b
∗
z
−
b
z
∗
+
c
,
{\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,}
onde
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
números complexos ,
z
∗
{\displaystyle z^{*}}
b
∗
{\displaystyle b^{*}}
conjugados complexos de
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
número real . Usando a identidade
|
u
|
2
=
u
u
∗
{\displaystyle |u|^{2}=uu^{*}}
|
z
−
b
|
2
−
|
b
|
2
+
c
,
{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,}
o que é claramente uma quantidade real. Isto é porque
|
z
−
b
|
2
=
(
z
−
b
)
(
z
−
b
)
∗
=
(
z
−
b
)
(
z
∗
−
b
∗
)
=
z
z
∗
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
b
b
∗
=
|
z
|
2
−
z
b
∗
−
b
z
∗
+
|
b
|
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{*}\\&{}=(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&{}=zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}
Como outro exemplo, a expressão
a
x
2
+
b
y
2
+
c
,
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,}
onde
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
a
>
0
{\displaystyle a>0}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
valor absoluto de um número complexo. Definir
z
=
a
x
+
i
b
y
.
{\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}
Assim,
|
z
|
2
=
z
z
∗
=
(
a
x
+
i
b
y
)
(
a
x
−
i
b
y
)
=
a
x
2
−
i
a
b
x
y
+
i
b
a
y
x
−
i
2
b
y
2
=
a
x
2
+
b
y
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}
então
a
x
2
+
b
y
2
+
c
=
|
z
|
2
+
c
.
{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.}
Uma matriz
M
{\displaystyle M}
idempotente quando
M
2
=
M
{\displaystyle M^{2}=M}
0
{\displaystyle 0}
1
{\displaystyle 1}
a
2
+
b
2
=
a
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}
mostra que algumas matrizes
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
círculo no plano
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
A matriz
(
a
b
b
1
−
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}}
a
2
+
b
2
=
a
,
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=a,}
(
a
−
1
2
)
2
+
b
2
=
1
4
.
{\displaystyle (a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}.}
No plano
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
(
1
2
,
0
)
{\displaystyle {\bigg (}{\frac {1}{2}},0{\bigg )}}
1
2
{\displaystyle {\frac {1}{2}}}
Considere completar o quadrado para a equação
x
2
+
b
x
=
a
.
{\displaystyle x^{2}+bx=a.}
Como
x
2
{\displaystyle x^{2}}
área de um quadrado com o lado de comprimento
x
{\displaystyle x}
b
x
{\displaystyle bx}
b
{\displaystyle b}
x
{\displaystyle x}
retângulos .
Tentativas simples de combinar os retângulos
x
2
{\displaystyle x^{2}}
b
x
{\displaystyle bx}
Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo,
v
2
{\displaystyle v^{2}}
u
2
+
2
u
v
{\displaystyle u^{2}+2uv}
para obter um quadrado. Há também casos em que se pode adicionar o termo do meio,
2
u
v
{\displaystyle 2uv}
−
2
u
v
{\displaystyle -2uv}
u
2
+
v
2
{\displaystyle u^{2}+v^{2}}
para obter um quadrado.
Exemplo: a soma de um número positivo e seu valor recíproco [ editar | editar código-fonte ] Ao escrever
x
+
1
x
=
(
x
−
2
+
1
x
)
+
2
=
(
x
−
1
x
)
2
+
2
{\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}
mostramos que a soma de um número positivo
x
{\displaystyle x}
2
{\displaystyle 2}
2
{\displaystyle 2}
x
{\displaystyle x}
1
{\displaystyle 1}
Exemplo: fatorando um polinômio quártico simples [ editar | editar código-fonte ] Considere o problema de fatorar o polinômio
x
4
+
324.
{\displaystyle x^{4}+324.}
Isto é
(
x
2
)
2
+
(
18
)
2
,
{\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},}
então o termo do meio é
2
(
x
2
)
(
18
)
=
36
x
2
{\displaystyle 2(x^{2})(18)=36x^{2}}
x
4
+
324
=
(
x
4
+
36
x
2
+
324
)
−
36
x
2
=
(
x
2
+
18
)
2
−
(
6
x
)
2
=
uma diferença de dois quadrados
=
(
x
2
+
18
+
6
x
)
(
x
2
+
18
−
6
x
)
=
(
x
2
+
6
x
+
18
)
(
x
2
−
6
x
+
18
)
{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}={\text{uma diferença de dois quadrados}}\\&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}
(a última linha foi adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).
^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e22c4c34904778f055746900c6f939fc3d29aff2)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e905c1705aff97d23a6f09c27d5bb99a1693007e)
^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d58b55ab950dc35a66612eabf42d288ae3c2d0a)
![{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{ou}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{ou}}\quad x=-2.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767e51f6773a1c9969244098f2bbed2aec969e54)
