Completamento de quadrados

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Animação representando o processo de completar o quadrado

Na álgebra elementar, completar o quadrado é uma técnica para converter um polinômio quadrático da forma

para a forma

para alguns valores de e .

O completamento de quadrado é usado em

Em matemática, o completamento de quadrado é frequentemente aplicado em qualquer cálculo envolvendo polinômios quadráticos.

Visão geral[editar | editar código-fonte]

Contexto[editar | editar código-fonte]

A fórmula na álgebra elementar para calcular o quadrado de um binômio é:

Por exemplo:

Em qualquer quadrado perfeito, o coeficiente de é duas vezes o número , e o termo constante é igual a .

Exemplo básico[editar | editar código-fonte]

Considere o seguinte polinômio quadrático:

Esse quadrático não é um quadrado perfeito, pois 28 não é o quadrado de 5:

No entanto, é possível escrever o quadrático original como a soma desse quadrado e uma constante:

Isso é chamado de completar o quadrado.

Descrição geral[editar | editar código-fonte]

Dada qualquer quadrática mônica

é possível formar um quadrado com os mesmos dois primeiros termos:

Esse quadrado difere do quadrático original apenas no valor do termo constante. Portanto, podemos escrever

onde . Por exemplo:

Caso não-mônico[editar | editar código-fonte]

Dado um polinômio quadrático da forma

é possível fatorar o coeficiente a e completar o quadrado para o polinômio mônico resultante.

Exemplo:

Isso nos permite escrever qualquer polinômio quadrático na forma

Fórmula[editar | editar código-fonte]

Caso escalar[editar | editar código-fonte]

O resultado do preenchimento do quadrado pode ser escrito como uma fórmula. Para o caso geral:[1]

Especificamente, quando :

Case matricial[editar | editar código-fonte]

O caso das matrizes é muito semelhante:

onde tem que ser simétrica.

Se não é simétrica as fórmulas para e devem ser generalizadas para:

.

Relação com o gráfico[editar | editar código-fonte]

Gráficos de funções quadráticas deslocados para a direita por '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"'.
Gráficos de funções quadráticas deslocados para a direita por .
Graphs of quadratic functions shifted upward by k = 0, 5, 10, and 15.
Gráficos de funções quadráticas deslocadas para cima por .
Graphs of quadratic functions shifted upward and to the right by 0, 5, 10, and 15.
Os gráficos das funções quadráticas deslocaram-se para cima e para a direita em 0, 5, 10 e 15.

Na geometria analítica, o gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola no plano . Dado um polinômio quadrático da forma

os números e podem ser interpretados como as coordenadas cartesianas do vértice (ou ponto estacionário) da parábola. Ou seja, é a coordenada do eixo de simetria (ou seja, o eixo de simetria tem a equação ) e é o valor mínimo (ou valor máximo, se ) da função quadrática.

Uma maneira de ver isso é notar que o gráfico da função é uma parábola cujo vértice está na origem . Portanto, o gráfico da função é uma parábola deslocada para a direita por cujo vértice está em , conforme mostrado na figura de cima. Por outro lado, o gráfico da função é uma parábola deslocada para cima por cujo vértice está em , como mostra a figura central. A combinação dos desvios horizontal e vertical produz é uma parábola deslocada para a direita por e para cima por cujo vértice está em , como mostrado em a figura de baixo.

Resolvendo equações quadráticas[editar | editar código-fonte]

Completar o quadrado pode ser usado para resolver qualquer equação quadrática. Por exemplo:

O primeiro passo é completar o quadrado:

Em seguida, resolvemos o termo ao quadrado:

Então

e portanto

Isso pode ser aplicado a qualquer equação quadrática. Quando o tem um coeficiente diferente de , o primeiro passo é dividir a equação por esse coeficiente: por exemplo, veja o caso não-mônico abaixo.

Raízes irracionais e complexas[editar | editar código-fonte]

Ao contrário dos métodos que envolvem fatoração da equação, que é confiável apenas se as raízes forem racionais, o completamento do quadrado encontrará as raízes de uma equação quadrática, mesmo quando essas raízes forem irracionais ou complexas. Por exemplo, considere a equação

Completar o quadrado dá

então

Logo,

Em linguagem terser:

então

Equações com raízes complexas podem ser tratadas da mesma maneira. Por exemplo:

Caso não-mônico[editar | editar código-fonte]

Para uma equação que envolve uma quadrática não-mônica, o primeiro passo para resolvê-las é dividir pelo coeficiente de . Por exemplo:

A aplicação desse procedimento à forma geral de uma equação quadrática leva à fórmula quadrática.

Outras aplicações[editar | editar código-fonte]

Integração[editar | editar código-fonte]

O completamento de quadrado pode ser usado para avaliar qualquer integral da forma

usando as integrais básicas

Por exemplo, considere a integral

Completar o quadrado no denominador fornece:

Agora, isso pode ser avaliado usando a substituição , que gera

Números complexos[editar | editar código-fonte]

Considere a expressão

onde e são números complexos, e são os conjugados complexos de e , respectivamente, e é um número real. Usando a identidade , podemos reescrever isso como

o que é claramente uma quantidade real. Isto é porque

Como outro exemplo, a expressão

onde , , , e são números reais, com e , podem ser expressos em termos do quadrado do valor absoluto de um número complexo. Definir

Assim,

então

Matriz idempotente[editar | editar código-fonte]

Uma matriz é idempotente quando . As matrizes idempotentes generalizam as propriedades idempotentes de e . O método de completamento de quadrado de endereçamento da equação

mostra que algumas matrizes idempotentes são parametrizadas por um círculo no plano :

A matriz será idempotente desde que que, ao completar o quadrado, se torna

No plano , essa é a equação de um círculo com centro e raio .

Perspectiva geométrica[editar | editar código-fonte]

Completing the square.svg

Considere completar o quadrado para a equação

Como representa a área de um quadrado com o lado de comprimento , e representa a área de um retângulo com os lados e , o processo de preenchimento do quadrado pode ser visto como manipulação visual de retângulos.

Tentativas simples de combinar os retângulos e em um quadrado maior resultam em um canto ausente. O termo Uma variação na técnica adicionado a cada lado da equação de cima é precisamente a área do canto que falta, de onde deriva a terminologia "completar o quadrado".

Uma variação na técnica[editar | editar código-fonte]

Como ensinado convencionalmente, completar o quadrado consiste em adicionar o terceiro termo, ,

para obter um quadrado. Há também casos em que se pode adicionar o termo do meio, ou , a

para obter um quadrado.

Exemplo: a soma de um número positivo e seu valor recíproco[editar | editar código-fonte]

Ao escrever

mostramos que a soma de um número positivo e seu recíproco é sempre maior ou igual a . O quadrado de uma expressão real é sempre maior ou igual a zero, o que fornece o limite declarado; e aqui atingimos justamente quando é , fazendo com que o quadrado desapareça.

Exemplo: fatorando um polinômio quártico simples[editar | editar código-fonte]

Considere o problema de fatorar o polinômio

Isto é

então o termo do meio é . Assim temos

(a última linha foi adicionada apenas para seguir a convenção de graus decrescentes de termos).

Referências[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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