Função holomorfa

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano de número complexo C com valores em C que são diferenciáveis em cada ponto.

Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa", entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto a" significa não só diferenciável em a, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em a, no plano complexo.

Definição

Se U é um subconjunto aberto de C e f : U → C é uma função, dizemos que f é diferenciável complexa ou C-diferenciável no ponto z₀ de U se o limite

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

existir.

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de z₀, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número f '(z₀). Intuitivamente, se f é diferenciável complexa em z₀ e nas proximidades ao ponto z₀ da direção r, então as imagens se aproximarão ao ponto f(z₀) a partir da direção f '(z₀) r, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.

Se f é complexa diferenciável em cada ponto z₀ em U, dizemos que f é holomorfa em U.

Propriedades

A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:

• (f + g)' = f' + g'
• (fg)' = f' g + f g'

etc.

Algumas propriedades de funções homorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:

• Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função homolorfa for constante, então a função é constante.
• Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante. O argumento, aqui, é o ângulo θ obtido pela transformação $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )\,$

Pelas propriedades acima, a função $f(z)=|z|\,$ não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto).

Ver também

• Função antiholomorfa