Função holomorfa

Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano de número complexo C com valores em C que são diferenciáveis em cada ponto. Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa", entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto a" significa não só diferenciável em a, mas diferenciável em todo o disco aberto centrado em a, no plano complexo.

Definição

Se U é um subconjunto aberto de C e f : U → C [e uma função, dizemos que f é diferenciável complexa ou C-diferenciável no ponto z₀ de U se o limite

$f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}$

existir.

Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de z₀, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número f '(z₀). Intuitivamente, se f é diferenciável complexa em z₀ e nas proximidades ao ponto z₀ da direção r, então as imagens se aproximarão ao ponto f(z₀) a partir da direção f '(z₀) r, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente e da cadeia.

Se f é complexa diferenciável em cada ponto z₀ em U, dizemos que f é holomorfa em U.

Veja também

• Função antiholomorfa