Função holomorfa: diferenças entre revisões
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Se ''U'' é um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] de '''C''' e ''f'' : ''U'' → '''C''' é uma função, dizemos que ''f'' é ''diferenciável complexa'' ou ''C-diferenciável'' no ponto ''z''<sub>0</sub> de ''U'' se o [[limite]] |
Se ''U'' é um [[conjunto aberto|subconjunto aberto]] de '''C''' e ''f'' : ''U'' → '''C''' é uma função<ref>{{Citar web|url = http://omonitor.io/?q=holomorfa|titulo = Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata = 2016-03-24|obra = omonitor.io}}</ref>, dizemos que ''f'' é ''diferenciável complexa'' ou ''C-diferenciável'' no ponto ''z''<sub>0</sub> de ''U'' se o [[limite]] |
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:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }</math> |
:<math>f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }</math> |
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Revisão das 01h11min de 24 de março de 2016
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Nota: Se procura procura o holomorfo de um fungo, veja Teleomorfo.Funções holomorfas são o objeto central do estudo da análise complexa. Estas funções são definidas sobre um subconjunto aberto do plano de número complexo C com valores em C que são diferenciáveis em cada ponto.[1]
Esta condição é muito mais forte que a diferenciabilidade em caso real e implica que a função é infinitamente diferenciável e que pode ser descrita mediante sua série de Taylor. O termo função analítica é frequentemente usada no lugar de "função holomorfa",[1] entretanto o termo "analítico" possui vários outros significados. Uma função que seja holomorfa sobre todo o plano complexo se diz função inteira. A frase "holomorfa em um ponto a" significa não só diferenciável em a, mas diferenciável em algum disco aberto centrado em a, no plano complexo.
Definição
Se U é um subconjunto aberto de C e f : U → C é uma função[2], dizemos que f é diferenciável complexa ou C-diferenciável no ponto z0 de U se o limite
existir.[3]
Este limite se toma aqui sobre todas as sucessões de números complexos que se aproximam de z0, e para todas essa sucessões o quociente de diferenciais tem que resultar no mesmo número f '(z0). Intuitivamente, se f é diferenciável complexa em z0 e nas proximidades ao ponto z0 da direção r, então as imagens se aproximarão ao ponto f(z0) a partir da direção f '(z0) r, onde o último produto é a multiplicação de números complexos. Este conceito de diferenciabilidade compartilha várias propriedades com a diferenciabilidade em caso real: é linear e obedece as regras da derivação do produto, do quociente, da cadeia e da função inversa.[3]
Se f é complexa diferenciável em cada ponto z0 em U, dizemos que f é holomorfa em U.[1]
Propriedades
A derivada de uma função complexa tem várias propriedades análogas à derivada de uma função real, como, por exemplo:
- (f + g)' = f' + g'
- (fg)' = f' g + f g'
etc. [3]
Algumas propriedades de funções holomorfas, porém, não tem equivalentes nas funções reais. Por exemplo:
- Se a parte real, ou a parte imaginária, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.[1]
- Se o módulo, ou o argumento, de uma função holomorfa for constante, então a função é constante.[3] O argumento, aqui, é o ângulo θ obtido pela transformação
Pelas propriedades acima, a função não é holomorfa em nenhum aberto (pode-se provar diretamente que esta função não é diferenciável em nenhum ponto[3]).
Ver também
Referências
- ↑ a b c d Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.4 The Cauchy-Riemann equations
- ↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 24 de março de 2016
- ↑ a b c d e Robert Friedman, Columbia University, Department of Mathematics, 2. Complex Functions and the Cauchy-Riemann Equations, 2.3 Complex derivatives [em linha]
