Função zeta de Hurwitz

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Em matemática, a função zeta de Hurwitz é uma das muitas funções zeta. É definida formalmente para um argumento complexo s e um argumento real q como

Esta série é convergente para q > 0 e Re(s) > 1. Se q é um inteiro não positivo se supõe que os termos na série com denominador nulo não são considerados. Entretanto, em geral um se limita a 0 < q ≤ 1, o qual simplifica muitas das fórmulas aplicáveis à esta função.

Notar que na realidade não há coisa algumna que evite que a variável q seja complexa (em cujo caso, Re(q)>0 é uma restrição natural, ainda que não seja uma condição necessária). Esta extensão é necessária para a fórmula de Schwinger para o rítmo de produção de pares de elétrons (vide infra).

Extensão analítica[editar | editar código-fonte]

A função zeta de Hurwitz pode ter uma extensão analítica a uma função meromorfa definida para todos os números complexos s com s ≠ 1. Em s = 1 possuem um polo simples com resíduo 1. O termo constante é dado por

onde Γ é a função Gama e ψ é a função digama.

Representação da série[editar | editar código-fonte]

Em 1930 Helmut Hasse encontrou a representação em forma de série convergente definida por q > −1 e para todo número complexo s ≠ 1:[1]

Esta série converge uniformemente em um subconjunto compacto do plano s a uma função inteira. A soma interna deve ser compreendida como a n-ésima diferença finita de ; ou seja,

onde Δ é o operador diferença finita. Portanto, é válido que

Representaçao integral[editar | editar código-fonte]

A função possui uma representação integral em função da transformada de Mellin. Esta é:

para e .

Fórmula de Hurwitz[editar | editar código-fonte]

A fórmula de Hurwitz estabelece o seguinte teorema:

com

é uma representação do zeta que é válido para e . Onde, é o polilogaritmo.

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458-464.