Limite de uma sequência

O limite de uma sequência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. A mesma dá uma definição rigorosa à idéia de uma sequência que converge até um ponto chamado limite.

De forma intuitiva, supondo que tem-se uma sequência de pontos (por exemplo, um conjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipo de objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) que admite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certa distância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da sequência se para toda a vizinhança que se defina, todos os pontos da sequência (com a possível exceção de um número finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como se houvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas em L, e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela.

Definição formal

• Para uma sequência de pontos $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ em um espaço métrico M com função de distância d

(como por exemplo, uma sequência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.):

Se $L\in M\;$ diz-se que L é o limite da sequência e escreve-se

$L=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

$\Longleftrightarrow \forall \epsilon >0\;\exists n_{0}\in \mathbb {N} :n>n_{0}\Rightarrow d(x_{n},L)<\epsilon .\;$

i.e.:se e somente se para todo (hodap) número real $\epsilon >0\;$, existe um número natural N tal que para cada $n>N\;$, satisfaz-se que $d(x_{n},L)<\epsilon .\;$

• Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ em um espaço topológico T:

Se $L\in T\;$ diz-se que L é um limite desta sequência e escreve-se

$L=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

se e somente se para toda a vizinhança S de L existe um número natural N tal que $x_{n}\in S\;$ para todo $n>N.\;$

Se uma sequência tem limite, diz-se que a sequência é convergente, e que a sequência converge ao limite. Caso contrário, a sequência é divergente.

Comentários

A definição significa que eventualmente todos os elementos da sequência aproximam-se tanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementos encontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subsequentes não, implica, em geral, que a sequência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy). LEGAL

É possível também que uma sequência em um espaço topológico geral, possa ter vários limites diferentes, mas uma sequência convergente possui um único limite se T é um espaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seus subconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rⁿ...).

Exemplos

• A sequência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0.
• A sequência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente.
• A sequência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita.
• Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a sequência aⁿ possui limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a sequência a^1/n possui limite 1.
• Também:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ se }}p>0$

$\lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{ se }}|a|<1$

$\lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1$

$\lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ se }}a>0$

Ligações externas

• «Exemplos de seqüências»