Matriz de massa

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Na mecânica analítica, a matriz de massa é a matriz simétrica M que expressa a relação entre a derivativa de tempo do vetor de coordenadas generalizadas q de um sistema e a energia cinética T do sistema, pela equação

onde denota a transposição do vetor .[1] Esta equação é análoga à fórmula da energia cinética de uma partícula com a massa e velocidade v, ou seja,

e pode ser derivada dela, expressando a posição de cada partícula do sistema em termos de q.

Em geral, a matriz de massa M depende do estado q, e, portanto, varia com o tempo.

Na mecânica de Lagrange obtém-se uma equação diferencial ordinária (na verdade, um sistema acoplado de equações diferenciais) que descreve a evolução de um sistema em termos de um vetor arbitrário de coordenadas generalizadas que completamente define a posição de cada partícula do sistema. A fórmula da energia cinética acima é um termo desta equação que representa a energia cinética total de todas as partículas.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Sistema unidimensional de dois corpos[editar | editar código-fonte]

Sistema de massas em uma dimensão espacial.

Por exemplo, considere um sistema composto de duas massas pontuais confinadas em uma pista de linha reta. O estado do sistema pode ser descrito por um vetor q de duas coordenadas generalizadas, ou seja, as posições das duas partículas ao longo da pista.

.

Supondo que as partículas têm massas m1, m2, a energia cinética do sistema é

Esta fórmula também pode ser escrita como

onde

Sistema de N corpos[editar | editar código-fonte]

De forma mais generalizada, considere um sistema de N partículas com índices i = 1, 2,...,N, no qual a posição da partícula de número i é definida por ni coordenadas cartesianas livres (onde ni é 1, 2 ou 3). Deixe q ser o vetor coluna contendo todas as coordenadas. A matriz de massa M é a matriz diagonal em bloco onde em cada bloco os elementos da diagonal contém as massas das partículas correspondentes:[2]

onde In i é a ni × ni matriz de identidade, ou mais plenamente,

Rotação de halter[editar | editar código-fonte]

Rotação de halter.

Como um exemplo menos trivial, considere dois objetos como pontos com massas m1, m2, acoplados às extremidades de uma barra rígida sem massa de comprimento 2R, o conjunto sendo livre para girar e deslizar ao longo de um determinado plano. O estado do sistema pode ser descrito pelo vetor de coordenadas generalizadas

onde x, y são as coordenadas cartesianas do ponto médio da barra e α é o ângulo da barra contando a partir de uma referência arbitrária. As posições e velocidades das duas partículas são

e a sua energia cinética total é

onde e . Esta fórmula pode ser escrita em forma de matriz como

onde

Note que a matriz depende do ângulo α da barra.

Mecânica de meios contínuos[editar | editar código-fonte]

Para aproximações discretas da mecânica de meios contínuos, como no método de elementos finitos, pode haver mais de uma maneirade construir a matriz de massa, dependendo da precisão e desempenho computacional desejados. Por exemplo, um método de massas agrupadas, no qual a deformação de cada elemento é ignorado, cria-se uma matriz diagonal de massa e nega a necessidade de integrar a massa ao longo do elemento deformado.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
  2. Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978 0 521 57572 0