Modelo epidêmico

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita fontes confiáveis e independentes, o que compromete sua credibilidade (desde fevereiro de 2014). Por favor, adicione referências e insira-as corretamente no texto ou no rodapé. Conteúdo sem fontes poderá ser removido.
Encontre fontes: Google (notícias, livros e acadêmico)
Broom icon.svg
As referências deste artigo necessitam de formatação (desde fevereiro de 2014). Por favor, utilize fontes apropriadas contendo referência ao título, autor, data e fonte de publicação do trabalho para que o artigo permaneça verificável no futuro.
Ambox rewrite.svg
Esta página precisa ser reciclada de acordo com o livro de estilo (desde fevereiro de 2014).
Sinta-se livre para editá-la para que esta possa atingir um nível de qualidade superior.



Um modelo de epidemia é uma forma simplificada de descrever a transmissão de doenças transmissíveis através de indivíduos.


Introdução[editar | editar código-fonte]

O surto e propagação da doença têm sido questionados e estudados durante muitos anos. A capacidade de fazer previsões sobre doenças poderia permitir aos cientistas avaliar os planos de vacinação ou isolamento e poderem ter um efeito significativo sobre a taxa de mortalidade de uma epidemia particular. A modelagem de doenças infecciosas é uma ferramenta que tem sido utilizada para estudar os mecanismos pelos quais as doenças se espalham, para prever o curso futuro de um surto e avaliar estratégias para controlar uma epidemia (Daley e Gani, 2005).

O primeiro cientista que tentou sistematicamente para quantificar as causas de morte foi John Graunt, no seu livro Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality, em 1662. Os projetos de lei que ele estudou estavam listados em números e causas de mortes publicadas semanalmente. A análise das causas de morte de Graunt é considerado o início da "teoria de riscos competitivos", que de acordo com Daley e Gani é " uma teoria que está agora bem estabelecida entre epidemiologistas modernos" .

O primeiro relato de modelagem matemática de propagação da doença foi realizado em 1766 por Daniel Bernoulli. Treinado como médico, Bernoulli criou um modelo matemático para defender a prática de inoculação contra a varíola (Hethcote, 2000). Os cálculos deste modelo mostraram que a inoculação universal contra a varíola poderia aumentar a expectativa de vida de 26 anos e 7 meses para 29 anos e 9 meses (de Bernoulli & Blower, 2004).

O trabalho de Daniel Bernoulli, é claro, precedido à compreensão moderna da teoria dos germes, e não foi até à pesquisa de Ronald Ross na propagação da malária, que a epidemiologia teórica moderna começou. Isso foi logo seguido pelo aclamado trabalho de AG McKendrick e WO Kermack, cujo papel “Uma Contribuição para a Teoria Matemática da Epidemias” foi publicado em 1927. Um modelo simples determinista (compartimental) foi formulado neste trabalho. O modelo foi bem sucedido em predizer o comportamento dos surtos muito semelhante ao observado em muitas epidemias gravadas (Brauer & Castillo - Chavez, 2001).


Tipos de modelos epidémicos[editar | editar código-fonte]

Estocástico[editar | editar código-fonte]

"Estocástica" significa ser ou ter uma variável aleatória. Um modelo estocástico é uma ferramenta para estimar as distribuições de probabilidade de resultados potenciais, permitindo a variação aleatória em uma ou mais entradas ao longo do tempo. Modelos estocásticos dependem das variações casuais do risco de exposição, à doença e outras dinâmicas da doença. Eles são usados quando essas flutuações são importantes, como em populações pequenas (Trottier & Philippe, 2001).


Determinística[editar | editar código-fonte]

Ao lidar com grandes populações, como é o caso da tuberculose, modelos matemáticos determinísticos ou compartimentados são utilizados. No modelo determinista, os indivíduos da população são atribuídos a diferentes subgrupos ou compartimentos, cada um representando uma etapa específica da epidemia. Letras como M, S, E, I e R são muitas vezes utilizadas para representar diferentes estágios.

As taxas de transição de uma classe para outra são matematicamente expressas como derivativos, portanto, o modelo é formulado usando equações diferenciais. Embora a construção de tais modelos, se deva supor que o tamanho da população num compartimento é diferenciável em relação ao tempo e que o processo de epidemia é determinista. Em outras palavras, as alterações na população de um compartimento podem ser calculadas utilizando apenas o histórico usado para desenvolver o modelo (Brauer & Castillo - Chavez, 2001).

Outra abordagem é através da análise discreta em uma rede (como uma grelha quadrada bidimensional), onde a atualização é feita através de atualizações assíncronas de um único site (Kinetic Monte Carlo) ou atualização síncrona (Cellular Automata). A abordagem treliça permite heterogeneidades e clusterings a serem tidos em conta. Sistemas de treliça são geralmente estudados através da simulação em computador, e são discutidos na página da Wikipedia os modelos de Epidemia em treliças.

Terminologia[editar | editar código-fonte]

A seguir, um resumo da notação usada neste e próximas seções:

  • M: Crianças passivamente imunes
  • S : Suscetíveis
  • E: Indivíduos expostos no período de latência
  • I: Infecciosos
  • R: Removido com imunidade
  • \beta: Taxa de Contacto
  • \mu: Taxa média de morte
  • B: Taxa média de nascimento
  • 1 / \epsilon: Período de latência médio
  • 1 / \gamma: Período infeccioso médio
  • R_0: Número básico de reprodução
  • N: População total
  • f: Perda média da taxa de imunidade de indivíduos recuperados
  • \delta: Prazo médio de imunidade temporária


Modelos determinísticos compartimentados[editar | editar código-fonte]

O Modelo SIR[editar | editar código-fonte]

Em 1927, W. O. Kermack e A. G. McKendrick criaram um modelo em que se considera uma população fixa com apenas três compartimentos: sensíveis, S(t); infectado, I(t), e removido, R(t). Os compartimentos utilizados para este modelo consistem em três classes:

  • S(t) é usado para representar o número de indivíduos não infectados com a doença no momento t, ou aqueles suscetíveis à doença.
  • I(t) representa o número de indivíduos que tenham sido infectadas com a doença e que são capazes de transmitir a doença aos da categoria susceptível.
  • R(t) é o compartimento utilizado para aqueles indivíduos que foram infectados e, de seguida, removidos a partir da doença, quer devido à imunização ou devido à morte. Os que estão nesta categoria não são capazes de ser infectados novamente ou para transmitir a infecção a outras pessoas.

O fluxo do presente modelo pode ser considerado da seguinte forma:

\color{red}\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R}

Usando uma população fixa, N = S(t) + I(t) + R(t), Kermack e McKendrick derivadas das seguintes equações:

\frac{dS}{dt} = - \beta S I
\frac{dI}{dt} = \beta S I - \gamma I
\frac{dR}{dt} = \gamma I

Várias hipóteses foram feitas na formulação destas equações: em primeiro lugar, um indivíduo na população deve ser considerado como tendo uma probabilidade igual a todos os outros indivíduos de contrair a doença, com uma taxa de β, que é considerada a velocidade de contacto ou infecção da doença. Portanto, um indivíduo infetado entra em contacto e é capaz de transmitir a doença a outros βN por unidade de tempo e a fracção de contactos por uma pessoa infectada com um susceptíveis é S/N. O número de novas infeções na unidade de tempo por infecciosa é, então, βN(S/N), dando a taxa de novas infeções (ou aqueles que deixam a categoria suscetível) como βN(S/N)I= βSI (Brauer e Castillo- Chavez, 2001). Para a segunda e terceira equações, considerar a população deixando a classe suscetíveis como sendo igual ao número de entrar na classe infectado. No entanto, um número igual à fração (γ , que representa a taxa de recuperação média/morte, ou 1/γ o período infeccioso médio) de infecciosos estão a deixar esta classe por unidade de tempo para entrar na classe removida. Estes processos que ocorrem simultaneamente são referidos como a Lei da Ação de Massa, uma ideia amplamente aceite de que a taxa de contacto entre dois grupos numa população é proporcional ao tamanho de cada um dos grupos envolvidos (Daley e Gani, 2005). Finalmente, admite-se que a taxa de infeção e de recuperação é muito mais rápida do que a escala de tempo de nascimentos e mortes e, portanto, estes factores são ignorados neste modelo.


O Modelo SIR com nascimentos e morte[editar | editar código-fonte]

Usando o processo do sarampo, por exemplo, existe uma chegada de novos indivíduos suscetíveis na população. Para este tipo de situação nascimentos e mortes devem ser incluídas no modelo. As seguintes equações diferenciais representam este modelo, assumindo uma taxa de mortalidade μ e taxa de natalidade igual à taxa de mortalidade:

\frac{dS}{dt} = - \beta SI + \mu (N - S)
\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \mu I
\frac{dR}{dt} = \gamma I - \mu R


O Modelo SIS co nascimentos e mortes[editar | editar código-fonte]

O modelo SIS pode ser facilmente deduzido a partir do modelo SIR, basta considerar que os indivíduos se recuperam sem imunidade à doença, isto é, os indivíduos são suscetíveis de imediato, uma vez que se recuperaram.

\color{red}\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{S}

Removendo a equação que representa a população recuperada a partir do modelo da SIR e adicionando os removidos da população infetada na população suscetível, dá as seguintes equações diferenciais:

\frac{dS}{dt} = - \beta SI + \mu (N - S) + \gamma I
\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \mu I


O Modelo SIRS[editar | editar código-fonte]

Este modelo é simplesmente uma extensão do modelo SIR, como veremos a partir da sua construção.

\color{red}\mathcal{S} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{I} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{R} \color{red}\rightarrow\color{red}\mathcal{S}

A única diferença é que ele permite que os membros da classe de recuperado para a classe livre de infecção tornar a reunir a classe suscetível.

\frac{dS}{dt} = - \beta SI + \mu (N - S) + f R
\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \mu I
\frac{dR}{dt} = \gamma I - \mu R - f R


Modelos com mais compartimentos[editar | editar código-fonte]

O Modelo SEIS[editar | editar código-fonte]

O modelo SEIS leva em consideração o período da doença exposta ou latente, dando um compartimento adicional, E(t).

\color{red}\mathcal{S} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{E} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{I} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{S}

Neste modelo uma infeção não deixa qualquer imunidade, assim, os indivíduos que se recuperarem voltam a ser suscetíveis de novo, movendo-se de volta para o compartimento de S(t). As seguintes equações diferenciais descrevem este modelo:

\tfrac{dS}{dT} = B - \beta SI - \mu S + \gamma I
\tfrac{dE}{dT} = \beta SI - (\epsilon + \mu)E
\tfrac{dI}{dT} = \varepsilon E - (\gamma + \mu)I


O Modelo SEIR[editar | editar código-fonte]

O modelo SIR discutido acima tem em conta apenas as doenças que causam num indivíduo a capacidade de infetar outras pessoas imediatamente após a sua infeção. Muitas doenças têm o que é chamado de uma fase latente ou exposta, durante o qual é dito ao indivíduo estar infetado mas não infecioso.

\color{red}\mathcal{S} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{E} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{I} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{R}

Neste modelo, a população anfitriã (N) é dividida em quatro compartimentos: suscetíveis, expostos, infeciosas e recuperados, com o número de indivíduos num compartimento, ou as suas densidades denotados, respectivamente, por by S(t), E(t), I(t), R(t), that is N = S(t) + E(t) + I(t) + R(t)

\tfrac{dS}{dT} = B - \beta SI - \mu S
\tfrac{dE}{dT} = \beta SI - (\varepsilon + \mu)E
\tfrac{dI}{dT} = \varepsilon E - (\gamma + \mu)I
\tfrac{dR}{dT} = \gamma I - \mu R


O Modelo MSIR[editar | editar código-fonte]

Existem várias doenças que um indivíduo nasce com uma imunidade passiva de sua mãe.

\color{red}\mathcal{M} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{S} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{I} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{R}

Para indicar esta matemática, um compartimento adicional é adicionado, H(t), o que resulta nas seguintes equações diferenciais:

\tfrac{dM}{dT} = B - \delta MS - \mu M
\tfrac{dS}{dT} = \delta MS - \beta SI - \mu S
\tfrac{dI}{dT} = \beta SI - \gamma I - \mu I
\tfrac{dR}{dT} = \gamma I - \mu R


O Modelo MSEIR[editar | editar código-fonte]

Para o caso de uma doença, com os factores de imunidade passiva, e um período de latência temos o modelo MSEIR.

\color{red}\mathcal{M} \color{red}\rightarrow\color{red}\mathcal{S} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{E} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{I} \color{red}\rightarrow \color{red}\mathcal{R}


\tfrac{dM}{dT} = B - \delta MS - \mu M
\tfrac{dS}{dT}  = \delta MS - \beta SI - \mu S
\tfrac{dE}{dT}  = \beta SI - (\varepsilon + \mu)E
\tfrac{dI}{dT}  = \varepsilon E - (\gamma + \mu)I
\tfrac{dR}{dT}  = \gamma I - \mu R


O Modelo MSEIRS[editar | editar código-fonte]

Um modelo MSEIRS é semelhante ao MSEIR, mas a imunidade na classe R seria temporária, de modo que os indivíduos poderão recuperar a sua susceptibilidade quando a imunidade temporária terminar.

\color{red}\mathcal{M} \rightarrow \mathcal{S} \rightarrow \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R} \rightarrow \mathcal{S}


Número de Reprodução[editar | editar código-fonte]

Há uma quantidade limite que determina se uma epidemia ocorre ou a doença simplesmente morre. Esta quantidade é denominado o número de reprodução de base, indicado por R0, que pode estar definido como o número de infeções secundárias causadas por um único infecioso introduzido numa população composta inteiramente de indivíduos susceptíveis (S(0)≈N) ao longo da infeção deste único infecioso. Este indivíduo infecioso faz com que os contactos βN por unidade de tempo produzir novas infeções com um período infecioso médio de 1/γ. Portanto, o número básico de reprodução é R0 = (βN)/γ

Este valor quantifica o potencial de transmissão de uma doença. Se o número básico de reprodução desce abaixo de um (R0 < 1), ou seja, o infecioso não pode passar a infeção durante o período infecioso, a infeção morre. Se (R0 > 1) há uma epidemia na população. Nos casos em que (R0 = 1), a doença torna-se endémica, ou seja, a doença permanece na população a uma taxa consistente, como um indivíduo infetado transmite a doença para alguém suscetível (Trottier & Philippe, 2001).

Em casos de doenças com diferentes períodos de latência, o número básico de reprodução pode estar calculado através da soma do número de reprodução para cada tempo de transição para a doença. Um exemplo disto é a tuberculose. Blower et al. (1995), calculado a partir de um modelo simples de TB no número abaixo da reprodução:

R0 = R0FAST + R0SLOW

No seu modelo, assume-se que os indivíduos infetados podem desenvolver TB ativa por qualquer progressão direta (a doença desenvolve-se imediatamente após a infeção) considerado acima da tuberculose FAST ou reativação endógena (a doença desenvolve-se anos depois da infecção) considerado acima da tuberculose como SLOW.


Outras considerações de entre os modelos epidémicos compartimentados[editar | editar código-fonte]

Transmissão vertical[editar | editar código-fonte]

No caso de algumas doenças, como AIDS e hepatite B, é possível que a descendência de pais infetados para nascer infetado. Esta transmissão da doença por parte da mãe é chamada de transmissão vertical. O influxo de novos membros na categoria infetado pode ser considerado dentro do modelo, incluindo uma fração dos membros recém-nascidos no compartimento infetado (Brauer & Castillo-Chavez, 2001).

Transmissão vetorial[editar | editar código-fonte]

Doenças transmitida de humano para humano indiretamente, isto é, a malária espalhou-se por meio de mosquitos, são transmitidos através de um vetor. Nestes casos, as transferências de infeção humana e um modelo de epidemia como o inseto deve incluir ambas as espécies, geralmente exigindo muito mais do que os compartimentos de um modelo para a transmissão direta. Para mais informações sobre este tipo de modelo de referência pode consulta a Dinâmica Populacional de Doenças Infecciosas: Teoria e Aplicações, por RM Anderson (Brauer & Castillo-Chavez, 2001).


Outros[editar | editar código-fonte]

Outras ocorrências (tiradas de Modelos Matemáticos em Biologia de População e Epidemiologia por Fred Brauer e Carlos Castillo-Chávez), que podem ter de ser considerados na modelagem de uma epidemia incluem coisas como os seguintes:

  • mistura não homogénea
  • populações com estrutura etária
  • infetividade variável
  • as distribuições que são espacialmente não-uniforme
  • doenças causadas por macroparasitas
  • imunidade adquirida através da vacinação