Nó (matemática)

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Em matemática, um é uma inserção de um círculo no espaço euclidiano tridimensional, (também conhecido como ), considerado até deformações contínuas (isotopias). Uma diferença crucial entre as noções padrão matemática e convencional de um é que nós matemáticos são fechados - não há fins para amarrar ou desatar em um nó matemático. Propriedades físicas, como atrito e espessura também não se aplicam, embora existam definições matemáticas de um nó que levam essas propriedades em consideração. O termo também é aplicado a Incorporação de em , especialmente no caso . O ramo da matemática que estuda nós é conhecido como teoria do nó, e tem muitas relações simples para a teoria dos grafos.

Definição Formal[editar | editar código-fonte]

Um nó é uma inserção do círculo (S¹) no espaço euclidiano tridimensional (), ou a esfera tridimensional, , uma vez que a esfera tridimensional é compacta.[1] Dois nós são definidos como sendo equivalentes se houver uma isotopia entre eles.

Projeção[editar | editar código-fonte]

Um nó em (respectivamente na esfera tridimensional, ), pode ser projetado em um plano (Uma esfera ). Esta projeção é quase sempre regular, o que significa que é injetora em toda parte, exceto em um número finito de pontos de cruzamento, que são as projeções de apenas dois pontos do nó, e esses pontos não são colineares. Neste caso, ao escolher um lado da projeção, pode-se codificar completamente a classe isotópica do nó por sua projeção regular, registrando uma simples sobre / sob informação nesses cruzamentos. Nos termos da teoria dos grafos, uma projeção regular de um nó, ou diagrama de nó é, portanto, um gráfico planar de quarta valência com vértices decorados acima ou abaixo. As modificações locais deste gráfico que permitem ir de um diagrama a qualquer outro diagrama do mesmo nó (até a isotopia ambiental do plano) são chamadas movimentos Reidemeister.

Tipos de Nós[editar | editar código-fonte]

Um nó pode ser desatado se o laço é quebrado

O nó mais simples, chamado o nó trivial, é um círculo incorporado em R³.

No sentido comum da palavra, o trivial não é "atado" em tudo. Os nós mais simples não triviais sãoː

  • Nó de trevo (31 na tabela),
  • Nó de figura-oito (41)
  • Nó de cinquefoil (51).[2]

Vários nós, ligados ou emaranhados, são chamados de Enlaces. Nós são enlaces com um único componente.

Uma tabela de todos os nós principais com até sete cruzamentos representados como diagramas de nó com o seu gráfico mediano.

Nós mansos x selvagens[editar | editar código-fonte]

Um nó poligonal é um nó cuja imagem em é a união de um conjunto finito de segmentos de linha.[3]Um nó manso é qualquer nó equivalente a um nó poligonal.[3]

Os nós que não são mansos são chamados selvagens, e podem ter comportamento patológico. [4]Na teoria do nó e da teoria dos coletores tridimensionais, muitas vezes o adjetivo "manso" é omitido. Os nós lisos, por exemplo, são sempre mansos.

Tipo de nó selvagem

Nó enquadrado[editar | editar código-fonte]

Um nó enquadrado é a extensão de um nó manso para uma incorporação do toro sólido D 2  ×  S 1 em S 3.

O enquadramento do nó é o número de enlaces da imagem da fita I × S1 com o nó. Um nó enquadrado pode ser visto como a fita incorporada e o enquadramento é o número de torções. Esta definição generaliza a uma analogia para enlaces enquadrados. As ligações enquadradas são consideradas equivalentes se as suas extensões para tori sólido forem isotópicas ambiente.

Os diagramas de ligação enquadrados são diagramas de enlaces com cada componente marcado, para indicar o enquadramento, por um número inteiro que representa uma inclinação em relação ao meridiano e à longitude preferida. Uma maneira padrão de exibir um diagrama de link sem marcações como representando um link emoldurado é usar o quadro negro. Este enquadramento é obtido convertendo cada componente numa fita que fica plana sobre o plano. Um movimento do tipo I Reidemeister muda claramente o enquadramento do quadro-negro (muda o número de torções em uma fita), mas os outros dois movimentos não. Substituindo o tipo I move por um movimento modificado de tipo I dá um resultado para diagramas de link com quadro de quadro semelhante ao teorema de Reidemeister: Diagramas de ligação, com enquadramento de quadro-negro, representam enlaces enquadrados equivalentes se e somente se eles são conectados por uma seqüência de ) I, II e III movimentos.

Complementos dos Nós[editar | editar código-fonte]

Dado um nó na esfera tridimensional, o complemento do nó é todos os pontos da esfera tridimensional não contidos no nó. Um teorema importante de Gordon e Luecke afirma que no máximo dois nós têm complementos homeomórficos (o nó original e seu reflexo no espelho). Isso, com efeito, transforma o estudo dos nós no estudo de seus complementos e, por sua vez, na teoria dos coletores tridimensionais.[5]

Decomposição JSJ[editar | editar código-fonte]

Ficheiro:Knot with borromean rings in jsj decomp small.png
Um nó cujo complemento tem uma decomposição não trivial de JSJ.

A decomposição de JSJ e o teorema de hiperbolização de Thurston reduz o estudo de nós na esfera tridimensional ao estudo de vários coletores geométricos através de operações de splicing ou satélites. No nó ilustrado, a decomposição JSJ divide o complemento na união de três coletores: dois complementos trevo e o complemento dos anéis borromeanos. O complemento de trevo tem a geometria de , enquanto que o complemento de anéis Borromeanos tem a geometria de .

Aplicações da Teoria dos Grafos[editar | editar código-fonte]

KnotCheckerboard.svg

Uma outra representação conveniente dos diagramas do nó[6][7] foi introduzida por Peter Tait em 1877[8][9].

Qualquer diagrama de nó define um grafo planar cujos vértices são os cruzamentos e cujas arestas são caminhos entre cruzamentos sucessivos. Exatamente uma face deste gráfico planar é ilimitada; Cada um dos outros é homeomorfa a um disco bidimensional. As cores dessas faces é preto ou branco,temos que a face ilimitada é preta e qualquer duas faces que compartilham uma borda limite têm cores opostas. O teorema da curva de Jordan implica que exista exatamente uma dessas colorações.

The signed planar graph associated with a knot diagram.

Construímos um novo grafo plano cujos vértices são as faces brancas e cujas arestas correspondem aos cruzamentos. Podemos rotular cada aresta neste gráfico como uma aresta esquerda ou uma aresta direita, dependendo de qual thread parece passar sobre a outra como nós vemos o cruzamento correspondente de um dos pontos finais da borda. Bordas esquerda e direita são tipicamente indicadas por marcação bordas esquerdas + e bordas direitas -, ou desenhando bordas esquerdas com linhas sólidas e bordas direitas com linhas tracejadas.

O diagrama de nó original é o grafo mediano desse novo grafo planar, com o tipo de cada cruzamento determinado pelo sinal da borda correspondente. Alterando o sinal de cada borda é o mesmo que refletir o nó em um espelho.

Sem nós e sem enlaces[editar | editar código-fonte]

Left guide
The seven graphs in the Petersen family. No matter how these graphs are embedded into three-dimensional space, some two cycles will have nonzero linking number.

Em duas dimensões, apenas os grafos planares podem ser encaixados no plano euclidiano sem cruzamentos, mas em três dimensões, qualquer grafo não direcionado pode ser incorporado no espaço sem cruzamentos. No entanto, um análogo espacial dos grafos planares é fornecido pelos gráficos com incorporações sem enlaces e sem nós. Uma incorporação sem enlace é uma incorporação do gráfico com a propriedade de que quaisquer dois ciclos são desvinculados; Uma incorporação sem nó é uma incorporação do gráfico com a propriedade de que qualquer ciclo simples desatado. Os gráficos que possuem incorporações sem enlace têm uma caracterização de gráfico proibida envolvendo a família Petersen, um conjunto de sete gráficos que estão intrinsecamente ligados: não importa como eles são incorporados, alguns ciclos serão ligados uns aos outros. Uma caracterização completa dos gráficos com incorporação sem nó não é conhecida, mas o gráfico completo K7 é um dos gráficos mínimos proibidos para a incorporação sem nó: não importa como K7 é incorporado, ele vai conter um ciclo que forma um[10] nó de trevo.

Generalização[editar | editar código-fonte]

Na matemática contemporânea, o termo nó é usado às vezes para descrever um fenômeno mais geral relacionado a incorporações. Dado um conector com um subconector , às vezes se diz que pode ser anotado em se houver uma incorporação de no Que não é isotópico para . Os nós tradicionais formam o caso em que e ou

O teorema Schoenflies afirma que o círculo nao faz nó na esfera bidimensional.

Cada círculo no esfera Bidimensional é isotópica para o círculo padrão.Teorema de Alexander afirma que a esfera bidimensional não faz nó na esfera tridimensional. No categoria topológica de nós mansos, sabe-se que a -esfera não faz nó em -esfera para todos os . Este é um teorema de Brown e Mazur. A esfera chifres Alexander é um exemplo de um nó bidimensional e tridimensional na esfera e que não é manso. Na categoria manso, a -esfera não é conhecida a nó na -esfera fornecida .

Haefliger provou que não existem nós de dimensão j lisos em fornecidos , e deu exemplos adicionais de esferas atadas para todos tal que . é chamado co-dimensão do nó. Um aspecto interessante do trabalho de Haefliger é que as classes de isotópia de encaixes de em formam um grupo, com operação de grupo dada pela soma co-dimensão é maior que dois. Haefliger baseou seu trabalho no teorema do cobordismo de Smale. Um dos teoremas de Smale é que quando se trata de nós em co-dimensões maiores que dois, mesmo os nós não-inequívocos possuem complementos difeomórficos. Isto dá ao indivíduo um sabor diferente do que a co-dimensão teoria de 2 nós. Se alguém permite topologias ou PL-isotopos, Zeeman provou que as esferas não fazem nó quando a co-dimensão é maior do que dois.

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Cromwell (2004), p. 33; Adams (1994), pp. 246–250.
  2. Adams (1994), Table 1.1, p. 280; Livingstone (1996), Appendix A: Knot Table, p. 221.
  3. a b Armstrong (1983), p. 215.
  4. Livingstone (1996), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11–14.
  5. Adams (1994), pp. 261–262.
  6. Adams, Colin C. (2001). The Knot Book. [S.l.]: American Mathematical Society. pp. 52–55 
  7. Entrelacs.net tutorial
  8. Tait, Peter G. (1876–1877). «On Knots I». Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 28: 145–190. Revised May 11, 1877. 
  9. Tait, Peter G. (1876–1877). «On Links (Abstract)». Proceedings of the Royal Society of Edinburgh. 9 (98): 321–332 
  10. Ramirez Alfonsin, J. L. (1999), «Spatial graphs and oriented matroids: the trefoil», Discrete and Computational Geometry, 22 (1): 149–158, doi:10.1007/PL00009446 .
  • Adams, Colin C. (1994). The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. [S.l.]: W. H. Freeman & Company 
  • Armstrong, M. A. (1983) [1979]. Basic Topology. Col: Undergraduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90839-0 
  • Cromwell, Peter R. (2004). Knots and Links. [S.l.]: Cambridge University Press, Cambridge. doi:10.1017/CBO9780511809767. ISBN 0-521-83947-5. MR 2107964 
  • Farmer, David W.; Stanford, Theodore B. (1995). Knots and Surfaces: A Guide to Discovering Mathematics. [S.l.: s.n.] 
  • Livingstone, Charles (1996). Knot Theory. [S.l.]: The Mathematical Association of America 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]