Operador fechado

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Em matemática, especialmente na análise funcional, os operadores lineares fechados formam uma importante classe de operadores lineares em espaços de Banach. Todo operador linear limitado é fechado e muitos operadores lineares não-limitados de importância na matemática aplicada são fechados. A classe dos operadores fechados são suficientemente bem comportados a ponto de se poder desenvolver um teorema espectral para eles.


Seja um espaço de Banach. Um operador linear A

é dito fechado se para cada seqüência em que converge para um ponto tal que tem-se que:

e

Equivalentemente, é fechado se e somente se seu gráfico é fechado.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere o espaço das funções contínuas no intervalo e o operador derivada:

, definido no domínio

Então se e ambos na norma do supremo ou, equivalentemente, uniformemente, então, não é difícil ver que:

Teorema[editar | editar código-fonte]

  • O teorema do gráfico fechado afirma que um operador fechado definido em todo espaço é contínuo. Portanto, um operador fechado descontínuo, como o exemplo acima, não pode ser definido em todo o espaço.