Plano de fase
Na matemática aplicada, em particular no contexto de análise de sistemas não lineares, um plano de fase é uma exibição visual de certas características de alguns tipos de equações diferenciais; um plano de coordenadas com eixos sendo os valores das duas variáveis de estado, digamos que ou . Sejam esses quaisquer pares de variáveis. Este é um caso bidimensional do espaço de fase geral n-dimensional
O método do plano de fase refere-se à determinação gráfica da existência de ciclos limites nas soluções da equação diferencial.
As soluções para a equação diferencial são uma família de funções. Graficamente, isso pode ser traçado no plano de fase como um campo vetorial bidimensional. Vetores representando as derivadas dos pontos em relação a um parâmetro (digamos, tempo ), ou seja , e são desenhados nos pontos representativos. Com essas setas, o comportamento do sistema nas regiões do plano em análise pode ser visualizado e os ciclos limites podem ser facilmente identificados.
Todo o campo é o retrato da fase, um caminho específico percorrido ao longo de uma linha de fluxo (ou seja, um caminho sempre tangente aos vetores) é um caminho de fase. Os fluxos no campo vetorial indicam a evolução no tempo do sistema que a equação diferencial descreve.
Dessa maneira, os planos de fase são úteis para visualizar o comportamento dos sistemas físicos ; em particular, de sistemas oscilatórios, como modelos predadores-presas (ver equações de Lotka-Volterra ). Nesses modelos, os caminhos de fase podem "espiralar" em direção ao zero, "espiralar" em direção ao infinito, ou alcançar situações neutras estáveis chamadas centros onde o caminho traçado pode ser circular, elíptico ou ovóide, assim como alguma variante do mesmo. Portanto, isso é útil para determinar se a dinâmica é estável ou não.[1]
Outros exemplos de sistemas oscilatórios são certas reações químicas com várias etapas, algumas das quais envolvem equilíbrios dinâmicos em vez de reações que são totalmente concluídas. Nesses casos, pode-se modelar a ascensão e queda da concentração do reagente e do produto (ou massa ou quantidade de substância) com as equações diferenciais corretas e uma boa compreensão da cinética química .[2]
Exemplo de um sistema linear
[editar | editar código-fonte]Um sistema bidimensional de equações diferenciais lineares pode ser escrito na forma:[1]
que pode ser organizado em uma equação matricial :
onde A é a matriz do coeficiente 2 × 2 acima e x = (x, y) é um vetor de coordenadas de duas variáveis independentes .
Este sistema pode ser resolvido analiticamente usando, nesse caso, a integração[3]
embora as soluções sejam funções implícitas em e e sejam difíceis de interpretar.[1]
Resolução usando valores próprios
[editar | editar código-fonte]e autovetores :
Os autovetores representam as potências dos componentes exponenciais e os autovetores são coeficientes. Se as soluções são escritas em forma algébrica, elas expressam o fator de multiplicação fundamental do termo exponencial. Devido à não singularidade dos autovetores, todas as soluções obtidas dessa forma têm constantes indeterminadas .
A solução geral é:
onde e são os autovalores e , são os autovetores básicos. As constantes e são responsáveis pela não singularidade dos autovetores e não são solucionáveis, a menos que seja dada uma condição inicial para o sistema.
O determinante acima leva ao polinômio característico :
que é apenas uma equação quadrática da forma:
Onde;
("tr" indica traço ) e
A solução explícita dos autovalores é então dada pela fórmula quadrática:
Onde
Autovetores e nós
[editar | editar código-fonte]Os autovetores e os nós determinam o perfil dos caminhos da fase, fornecendo uma interpretação pictórica da solução para o sistema dinâmico, conforme mostrado a seguir
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/35/Phase_plane_nodes.svg/300px-Phase_plane_nodes.svg.png)
O plano de fase é então configurado primeiro desenhando linhas retas representando os dois autovetores (que representam situações estáveis em que o sistema converge para essas linhas ou diverge delas). Em seguida, o plano de fase é traçado usando linhas completas em vez de traços de campo de direção. Os sinais dos autovalores dirão como o plano de fase do sistema se comporta:
- Se os sinais forem opostos, a interseção dos autovetores é um ponto de sela .
- Se os sinais forem positivos, os autovetores representam situações estáveis das quais o sistema diverge e a interseção é um nó instável .
- Se os sinais forem negativos, os autovetores representam situações estáveis para as quais o sistema converge e a interseção é um nó estável .
Os casos acima podem ser visualizados lembrando o comportamento de termos exponenciais em soluções de equações diferenciais.
Autovalores repetidos
[editar | editar código-fonte]Este exemplo diz respeito apenas ao caso de autovalores reais e separados. Os autovalores reais e repetidos requerem a solução da matriz do coeficiente com um vetor desconhecido e o primeiro autovetor para gerar a segunda solução de um sistema dois por dois, . No entanto, se a matriz for simétrica, é possível usar o autovetor ortogonal para gerar a segunda solução.
Autovalores complexos
[editar | editar código-fonte]Autovalores e autovetores complexos geram soluções na forma de senos e cossenos, assim como exponenciais. Uma das simplicidades nessa situação é que apenas um autovalor e apenas um autovetor é necessário para gerar todo o conjunto de soluções para o sistema.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Linha de fase, caso unidimensional
- Espaço de fase, caso n- dimensional
- Retrato de fase
Referências
- ↑ a b c d D.W. Jordan; P. Smith. Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-19-920825-8
- ↑ K.T. Alligood; T.D. Sauer; J.A. Yorke. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. [S.l.: s.n.] ISBN 978-0-38794-677-1
- ↑ W.E. Boyce; R.C. Diprima. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. [S.l.: s.n.] ISBN 0-471-83824-1