Polígono: diferenças entre revisões
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** '''Falso''': Pela sobreposição de Polígonos |
** '''Falso''': Pela sobreposição de Polígonos |
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** '''vaginas''': Formado por linhas poligonais fechadas não-simples |
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=== Simetria === |
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* '''Regular''': É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. |
* '''Regular''': É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes. |
Revisão das 13h44min de 21 de setembro de 2012
Na geometria, um polígono é uma figura plana limitada por uma linha poligonal fechada: por exemplo, o hexágono é um polígono de seis lados.
A palavra "polígono" advém do grego e quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
A definição usada por Euclides para polígono era uma figura limitada por linhas retas, sendo que estas linhas deveriam ser mais de quatro, e figura qualquer região do plano cercada por uma ou mais bordas.[1]
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
Polígono é uma superfície plana limitada por segmentos de reta (arestas ou lados), cujos vértices são formados por duas arestas. Um polígono simples divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), isto é, bidimensional (eixo do "X" e do "Y"), sem pontos comuns. Um polígono estrelado é uma linha poligonal fechada não-simples com propriedades especiais.
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
- Lados
- Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:
- , ,,,.
- Vértices
- Ponto de encontro dos segmentos:
- , , , , .
- Diagonais
- Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:
- ,,,,.
- Ângulos internos
- Ângulos formados por dois lados consecutivos:
- ,,,,
- Ângulos externos
- Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:
- ,,,,.
Classificação
Quanto ao número de lados
Os polígonos são classificados principalmente pelo número de lados, consulte a nomenclatura dos polígonos mais adiante.
Convexidade e tipos de não-convexidade
Pode-se caracterizar os polígonos de acordo com a sua convexidade ou o tipo de não-convexidade:
- Estrelado: formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
- Falso: Pela sobreposição de Polígonos
- vaginas: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples
- cuyzões
Simetria
- Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
Propriedades
Ângulos
- O número de vértices é igual ao número de lados.
- A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de lados () é dada por .
- A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de lados () é igual a .
- A medida do ângulo interno de um polígono regular de lados () é dada por.
- A medida do ângulo externo de um polígono regular de lados () é dada por.
- A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de lados () é igual a .
- A medida do ângulo central de um polígono regular de lados () é dada por.
Polígonos regulares
Para um polígono de n lados, temos que a soma dos ângulos internos (S¡) =
Exemplos: Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = (6-2) . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.
Outras
- De cada vértice de um polígono de lados, saem diagonais ().
- O número de diagonais () de um polígono é dado por , onde é o número de lados do polígono.
- Em um polígono convexo de lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por .
Nomenclatura dos polígonos
Lados | Nome | Lados | Nome | Lados | Nome |
---|---|---|---|---|---|
1 | 11 | undecágono | ... | ... | |
2 | 12 | dodecágono | |||
3 | triângulo | 13 | tridecágono | 30 | triacontágono |
4 | quadrilátero | 14 | tetradecágono | 40 | tetracontágono |
5 | pentágono | 15 | pentadecágono | 50 | pentacontágono |
6 | hexágono | 16 | hexadecágono | 60 | hexacontágono |
7 | heptágono | 17 | heptadecágono | 70 | heptacontágono |
8 | octógono | 18 | octodecágono | 80 | octacontágono |
9 | eneágono | 19 | eneadecágono | 90 | eneacontágono |
10 | decágono | 20 | icoságono | 100 | hectágono |
Nomenclatura para polígonos com muitos lados
Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:
Dezenas | e | Unidades | sufixo | ||
---|---|---|---|---|---|
-kai- | 1 | hena- | -gono | ||
20 | icosi- | 2 | -di- | ||
30 | triaconta- | 3 | -tri- | ||
40 | tetraconta- | 4 | -tetra- | ||
50 | pentaconta- | 5 | -penta- | ||
60 | hexaconta- | 6 | -hexa- | ||
70 | heptaconta- | 7 | -hepta- | ||
80 | octaconta- | 8 | -octa- | ||
90 | enneaconta- | 9 | -enea- |
Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:
Dezenas | e | Unidades | sufixo | nome completo do polígono |
---|---|---|---|---|
tetraconta- | -kai- | -di- | -gono | tetracontakaidigono |
e um polígono de 50 lados da seguinte forma:
Dezenas | e | Unidades | sufixo | nome completo do polígono |
---|---|---|---|---|
pentaconta- | -gono | pentacontagono |
Alguns polígonos possuem nomes alternativos, como os seguintes:
Lados | Nome |
---|---|
22 | docoságono |
25 | pentacoságono |
1000 | quilógono |
1.000.000 | megágono |
109 | gigágono |
10100 | googólgono |
Mitologia
Segundo Eudoxo, citado por Plutarco, os pitagóricos associavam cada polígono a um (ou mais) deuses. O triângulo pertencia a Hades, Dionísio e Ares, o quadrilátero a Reia, Afrodite, Deméter, Héstia e Hera, o dodecágono a Zeus e o polígono de cinquenta e seis lados à criatura demoníaca Tifão.[2]
Ver também
- Poliedro, a generalização para 3 dimensões
Ligações externas
Referências
- ↑ Euclides, Os Elementos, Livro I, Definição 23 [em linha]
- ↑ Eudoxo, citado por Plutarco, Moralia, Ísis e Osíris, 30 [em linha]