Série de Neumann

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

Uma série de Neumann é uma série matemática da forma

onde é um operador linear contínuo sobre um espaço normado e , o operador identidade. Assim, é uma notação matemática para operações consecutivas do operador . Isto generaliza a série geométrica.

A série é denominada em memória do matemático Carl Neumann, que a usou em 1877 no contexto da teoria do potencial. A série de Neumann é usada em análise funcional. Forma a base da série de Liouville-Neumann, usada para resolver equações integrais de Fredholm. Também é fundamental no estudo do espectro de operadores limitados.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Suponha que T é um operador limitado no espaço normado X. Se a série de Neumann converge na norma operacional, então I – T é inversível e sua inversa é a soma da série

Um caso no qual a convergência é garantida é quando X é um espaço de Banach e |T| < 1 no operador norma. Contudo, existem resultados para os quais encontra-se uma condição mais fraca em que a série converge.

O conjunto dos operadores inversíveis é aberto[editar | editar código-fonte]

Um corolário é que o conjunto de operadores inversíveis entre dois espaços de Banach B e B' é aberto na topologia induzida pelo operador norma. Realmente, seja S : BB' um operador inversível e seja T: BB' outro operador. Se |ST | < |S–1|–1, então T é também inversível. Isto obtém-se ao expressar T como

e aplicando o resultado da seção prévia sobre o segundo fator. A norma de T−1 pode ser limitada por

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Werner, Dirk (2005). Análise Funcional (em alemão) 5 ed. (Berlim: Springer Verlag). ISBN 3-540-43586-7. 

Ligações externas[editar | editar código-fonte]