Teorema de Banach-Steinhaus

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Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Enunciado[editar | editar código-fonte]

Seja um espaço de Banach e um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda uma família de operadores lineares limitados definidos de em . Defina ainda:

Então, se é de segunda categoria em então:

  • e

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Escreva:

Como

e cada um dos operadores é contínuo, é fechado. Do fato de que é de segunda categoria em e pelo teorema da categoria de Baire. Pelo menos um dos possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, e portanto, existe um e um tais que:

, é bola de centro e raio .

Como é convexo, pode-se considerar .

Escolha tal que e estime:

E o resultado segue.

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