Teorema de Banach-Steinhaus

Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Enunciado

Seja $X\,$ um espaço de Banach e $N\,$ um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda $\{T_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,$ uma família de operadores lineares limitados definidos de $X\,$ em $N\,$. Defina o conjunto $B$:

$B:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|<\infty \}$

Então, se $B\,$ é de segunda categoria em $X\,$ então:

• $B=X\,$ e
• $\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }\|<\infty$

Demonstrações

O teorema em si surge primeiramente para funcionais lineares contínuos por H. Hahn em 1922, mas a demonstração clássica utiliza o teorema da categoria de Baire é devida a S. Banach e H. Steinhaus em 1927. Em 2011, o matemático A. Sokal apresentou uma demonstração sem fazer o uso do mesmo.

Demonstração Clássica (usando o Teorema de Baire)

Escreva o conjunto $B$ como a seguinte reunião:

$B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}$

Como

$B_{n}=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leqslant n\}$

e cada um dos operadores $T_{\alpha }:X\longrightarrow N\,$ é contínuo, $B_{n}\,$ é fechado. Do fato de que $X\,$ é de segunda categoria em $X\,$ e pelo teorema da categoria de Baire, sabemos que pelo menos um dos $B_{n}\,$ possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, $B_{n}=nB_{1}\,$ e portanto, existe um $\delta >0\,$ e um $x_{0}\in B_{1}\,$ tais que:

${\mathcal {B}}(x_{0},\delta )\subseteq B_{1}\,$, ${\mathcal {B}}(x_{0},\delta )\,$ é bola de centro $x_{0}\,$ e raio $\delta \,$.

Como $B_{1}\,$ é convexo, pode-se considerar $x_{0}=0\,$.

Escolha $r>0\,$ tal que $\|xr\|={\frac {\delta }{2}}\,$ e estime:

$\|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leqslant {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|$

E o resultado segue.

Demonstração por A. Sokal (sem utilizar o Teorema de Baire)

Primeiro, vejamos um resultado técnico:

Lema. Para qualquer operador linear $T:X\longrightarrow Y$ entre espaços normados, qualquer $x\in X$ e qualquer $r>0$, têm-se

$\sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\geqslant \|T\|_{\infty }r$

onde ${\mathcal {B}}(x,r)=\{y\in X:\|x-y\|<r\}$ denota a bola aberta de centro $x$ e raio $r$.

Demonstração do Lema. De fato, para qualquer $y\in X$, vale a seguinte desigualdade:

${\frac {\|T(x+y)\|+\|T(x-y)\|}{2}}\geqslant \|Ty\|$

dado que $2Ty=T(x+y)-T(x-y)$, aplicando a desigualdade triangular segue.

Porém, $\max(a,b)\geqslant (a+b)/2$ para quaisquer $a,b\geqslant 0$ . Ou seja:

$\max {\Big (}\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|{\Big )}\geqslant \|Ty\|$

Tomando a norma do supremo em $y\in {\mathcal {B}}(0,r)$,

${\begin{aligned}\|T\|_{\infty }r&=\sup _{z\in {\mathcal {B}}[0,1]}\|Tz\|r\\&=\sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,r)}\|Ty\|\\&\leqslant \sup _{y\in {\mathcal {B}}(0,1)}\max(\|T(x+y)\|,\|T(x-y)\|)\\&\leqslant \sup _{x^{\prime }\in {\mathcal {B}}(x,r)}\left\|Tx^{\prime }\right\|\end{aligned}}$

Terminando a demonstração do lema $\Box$.

Demonstração do Teorema da Limitação Uniforme. Suponha por absurdo que $\sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty$, i.e., existe uma sequência $\left(T_{\alpha _{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ tal que ${\textstyle \left\|T_{\alpha _{n}}\right\|_{\infty }\geqslant 4^{n}}$, para qualquer $n\in \mathbb {N}$.

Pelo lema técnico garantido acima, existe $\left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$ tal que, para todo $n$,

$\left\|x_{n}-x_{n-1}\right\|\leqslant {\frac {1}{3^{n}}}\quad {\text{ e }}\quad \left\|T_{\alpha _{n}}x_{n}\right\|\geqslant {\frac {2}{3^{n+1}}}\left\|T_{\alpha _{n}}\right\|_{\infty }$

Tal sequência é de Cauchy e por $X$ ser um espaço de Banach, existe um $n_{0}\in \mathbb {N}$ de modo que $\left\|x-x_{n}\right\|\leqslant {\dfrac {3^{n}}{2}}$ para todo $n\geqslant n_{0}$.

Portanto,

$\left\|T_{\alpha _{n}}x\right\|\geqslant {\frac {3^{-n}}{2}}\left\|T_{\alpha _{n}}\right\|_{\infty }\geqslant {\frac {1}{6}}{\frac {4^{n}}{3^{n}}}$

para qualquer $x\in X$ e qualquer $n\in \mathbb {N}$.

O absurdo está em contrariar a hipótese de que $\sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }(x)\|_{\infty }<\infty$. Logo, não pode ser o caso de $\sup _{\alpha \in A}\|T_{\alpha }\|_{\infty }=\infty$. $\Box$

Exemplos e Aplicações

Exemplos

Para explicitar a necessidade da hipótese de completude temos o exemplo abaixo:

Seja ${\mathcal {N}}$ o espaço normado dos elementos $x=\left(x_{j}\right)\in$ $l^{\infty }(\mathbb {N} )$ com $x_{j}\neq 0$ somente para $j$ num conjunto finito de índices. Defina $T_{n}:{\mathcal {N}}\rightarrow l^{\infty }$ por $T_{n}x=\left(nx_{j}\right)_{j\in \mathbb {N} }$. Então $T_{n}\in {\mathcal {L}}\left({\mathcal {N}},l^{\infty }\right)$ para todo $n$ e para cada $x\in {\mathcal {N}}$ existe o limite $\lim _{n\rightarrow \infty }T_{n}x=0$, mas $\lim _{n\rightarrow \infty }\left\|T_{n}\right\|=\infty$.

Aplicações

Segue aplicação do teorema para estudo da continuidade de aplicações bilineares:

Corolário. Sejam $X,Y$ Espaços de Banach. Se $b:X\times Y\rightarrow \mathbb {R}$ é uma aplicação bilinear separadamente contínua (ou seja, $b(\cdot ,y)$ e $b(x,\cdot )$ são lineares e contínuas para cada $y\in Y$ e cada $x\in {X}$, respectivamente), então $b$ é contínua, ou seja, se $x_{n}\rightarrow x$ e $y_{n}\rightarrow y$, então $b\left(x_{n},y_{n}\right)\rightarrow b(x,y)$.