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Em matemática , o teorema de Banach-Steinhaus , também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional . O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.
Seja
X
{\displaystyle X\,}
um espaço de Banach e
N
{\displaystyle N\,}
um espaço normado não necessariamente completo . Seja ainda
{
T
α
}
α
∈
A
{\displaystyle \{T_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,}
uma família de operadores lineares limitados definidos de
X
{\displaystyle X\,}
em
N
{\displaystyle N\,}
. Defina ainda:
B
:=
{
x
∈
X
:
sup
α
∈
A
‖
T
α
(
x
)
‖
<
∞
}
{\displaystyle B:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|<\infty \}}
Então, se
B
{\displaystyle B\,}
é de segunda categoria em
X
{\displaystyle X\,}
então:
B
=
X
{\displaystyle B=X\,}
e
sup
α
∈
A
‖
T
α
‖
<
∞
{\displaystyle \sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }\|<\infty }
Escreva:
B
=
⋃
n
=
1
∞
B
n
,
B
n
:=
{
x
∈
X
:
sup
α
∈
A
‖
T
α
(
x
)
‖
≤
n
}
{\displaystyle B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leq n\}}
Como
B
n
:=
⋂
α
∈
A
{
x
∈
X
:
‖
T
α
(
x
)
‖
≤
n
}
{\displaystyle B_{n}:=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leq n\}}
e cada um dos operadores
T
α
{\displaystyle T_{\alpha }\,}
é contínuo,
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
é fechado . Do fato de que
X
{\displaystyle X\,}
é de segunda categoria em
X
{\displaystyle X\,}
e pelo teorema da categoria de Baire . Pelo menos um dos
B
n
{\displaystyle B_{n}\,}
possui interior não vazio.
Da linearidade dos operadores,
B
n
=
n
B
1
{\displaystyle B_{n}=nB_{1}\,}
e portanto, existe um
δ
>
0
{\displaystyle \delta >0\,}
e um
x
0
∈
B
1
{\displaystyle x_{0}\in B_{1}\,}
tais que:
B
(
x
0
,
δ
)
⊆
B
1
{\displaystyle B(x_{0},\delta )\subseteq B_{1}\,}
,
B
(
x
0
,
δ
)
{\displaystyle B(x_{0},\delta )\,}
é bola de centro
x
0
{\displaystyle x_{0}\,}
e raio
δ
{\displaystyle \delta \,}
.
Como
B
1
{\displaystyle B_{1}\,}
é convexo , pode-se considerar
x
0
=
0
{\displaystyle x_{0}=0\,}
.
Escolha
r
>
0
{\displaystyle r>0\,}
tal que
‖
x
r
‖
=
δ
2
{\displaystyle \|xr\|={\frac {\delta }{2}}\,}
e estime:
‖
T
α
(
x
)
‖
=
1
r
‖
T
α
(
r
x
)
‖
≤
1
r
=
2
δ
‖
x
‖
{\displaystyle \|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leq {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|}
E o resultado segue.