Teorema de Banach-Steinhaus

Em matemática, o teorema de Banach-Steinhaus, também conhecido como princípio da limitação uniforme é um importante resultado da análise funcional. O teorema foi originalmente publicado por Stefan Banach e Hugo Steinhaus em 1927.

Enunciado

Seja $X\,$$X\,$ um espaço de Banach e $N\,$$N\,$ um espaço normado não necessariamente completo. Seja ainda $\{T_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,$$\{T_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\,$ uma família de operadores lineares limitados definidos de $X\,$$X\,$ em $N\,$$N\,$. Defina ainda:

$B:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|<\infty \}$$B:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|<\infty \}$

Então, se $B\,$$B\,$ é de segunda categoria em $X\,$$X\,$ então:

• $B=X\,$$B=X\,$ e
• $\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }\|<\infty$$\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }\|<\infty$

Demonstração

Escreva:

$B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leq n\}$$B=\bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n},~~B_{n}:=\{x\in X:\sup _{\alpha \in \mathrm {A} }\|T_{\alpha }(x)\|\leq n\}$

Como

$B_{n}:=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leq n\}$$B_{n}:=\bigcap _{\alpha \in \mathrm {A} }\{x\in X:\|T_{\alpha }(x)\|\leq n\}$

e cada um dos operadores $T_{\alpha }\,$$T_{\alpha }\,$ é contínuo, $B_{n}\,$$B_{n}\,$ é fechado. Do fato de que $X\,$$X\,$ é de segunda categoria em $X\,$$X\,$ e pelo teorema da categoria de Baire. Pelo menos um dos $B_{n}\,$$B_{n}\,$ possui interior não vazio.

Da linearidade dos operadores, $B_{n}=nB_{1}\,$$B_{n}=nB_{1}\,$ e portanto, existe um $\delta >0\,$$\delta >0\,$ e um $x_{0}\in B_{1}\,$$x_{0}\in B_{1}\,$ tais que:

$B(x_{0},\delta )\subseteq B_{1}\,$$B(x_{0},\delta )\subseteq B_{1}\,$, $B(x_{0},\delta )\,$$B(x_{0},\delta )\,$ é bola de centro $x_{0}\,$$x_{0}\,$ e raio $\delta \,$$\delta \,$.

Como $B_{1}\,$$B_{1}\,$ é convexo, pode-se considerar $x_{0}=0\,$$x_{0}=0\,$.

Escolha $r>0\,$$r>0\,$ tal que $\|xr\|={\frac {\delta }{2}}\,$$\|xr\|={\frac {\delta }{2}}\,$ e estime:

$\|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leq {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|$$\|T_{\alpha }(x)\|={\frac {1}{r}}\|T_{\alpha }(rx)\|\leq {\frac {1}{r}}={\frac {2}{\delta }}\|x\|$

E o resultado segue.