Teorema do virial

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Considere-se a seguinte quantidade física:

onde e são o vetor posição e o vetor momento, respectivamente, da k-ésima partícula de um sistema de partículas. O virial de um conjunto de partículas é definido de tal forma que

onde o símbolo representa a média temporal da grandeza por ele encerrada ao longo do intervalo de tempo adequado à situação, tipicamente o período de oscilação em movimentos periódicos.

O Teorema Virial estabelece que a energia cinética média de um sistema de partículas é igual ao seu virial para os casos em que o valor médio de G seja constante ( ):

[1] .

A expressão "virial" deriva do Latim, vis, viris, palavra para "força" ou "energia" e foi cunhada por Rudolf Clausius (1822-1888) em 1870.

Uma das grandes utilidades do teorema do virial se deve ao fato de que ele permite que a energia cinética total seja calculada mesmo para sistemas complicados que não têm uma solução exata, tais como aqueles considerados em mecânica estatística. Por exemplo, o teorema do virial pode ser usado para derivar o teorema da equipartição, a equação de Clapeyron para os gases ideais ou mesmo para calcular o limite de Chandrasekhar para a estabilidade de estrelas anãs brancas.

Obtendo a expressão matemática para o virial[editar | editar código-fonte]

A derivada temporal de G pode ser escrita como

ou, de modo mais simples,

Aqui, representa a massa da -ésima partícula, é a força líquida atuando sobre a partícula e é a energia cinética total do sistema.

A média desta derivada no intervalo de tempo é definida como:

Assim, tomando a média dos dois lados da expressão para a derivada de G com relação ao tempo, temos:

Da expressão acima segue-se que, se , então

Existem muitas razões pelas quais a média das derivadas temporais podem se anular, isto é,

.

Uma razão frequentemente citada se aplica à sistemas ligados, i.e., sistemas em que as partículas permanecem sempre juntas. Nesse caso, o virial está normalmente entre dois valores extremos, e , e a média vai a zero para o limite de tempos muitos longos

Mesmo se a média da derivada temporal é somente aproximadamente zero, o teorema do virial continua valendo, com a mesma ordem de aproximação.

Assim, quando a média da derivada temporal de G anula-se,

que é a expressão matemática para o Teorema do Virial. [2]

Relação com a energia potencial[editar | editar código-fonte]

A força total atuando sobre a partícula é a soma de todas as forças exercidas pelas outras partículas do sistema,

onde, é a força aplicada pela partícula na partícula . Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial pode ser escrito como

Como nenhuma partícula atua sobre sí mesma (i.e., , sempre que ), temos que

onde assumimos que a terceira lei de Newton pde ser aplicada, i.e., (reações iguais e opostas).

É comum acontecer que as forças possam ser derivadas da energia potencial que é uma função somente da distância, , entre as partículas e . Como força é o gradiente da energia potencial, temos, neste caso

a qual é igual e oposta a , a força aplicada pela partícula sobre a partícula , como pode ser confirmado por cálculos explícitos. Portanto, o termo de força da derivada temporal do virial é

Aplicação a forças que seguem uma lei da potência[editar | editar código-fonte]

É comum acontecer que a energia potencial é uma função do tipo lei de potência

onde o coeficiente e o expoente são constantes. Em tais casos, temos:

onde é a energia potencial total do sistema

Em tais casos, quando , a equação geral torna-se

Um exemplo muito citado é a força de atração gravitacional, para a qual . Neste caso,

Este resultado é notavelmente útil para sistemas gravitantes complexos, tais como o sistema solar ou galáxias, e também para sistemas eletrostáticos, para os quais , também.

A pesar de ter sido derivado para a mecânica clássica, o teorema do virial também vale para a mecânica quântica.

Inclusão de campos eletromagnéticos[editar | editar código-fonte]

O teorema do virial pode ser expandido para incluir o campo magnético e o campo elétrico. [3]

onde I é o momentum de inércia, G é o vetor Poynting, T é a energia cinética do "fluido", U é a energia térmica (aleatória ou cinética) das partículas, WE e WM são as energias dos campos elétrico e magnético contidas no volume considerado. Finalmente, pik é o tensor pressão de fluido expresso no sistema de coordenadas móvel local

,

e Tik é o tensor de stress eletromagnético,

Um plasmoide é uma configuração finita de campos magnéticos e plasma. Com o teorema do virial é fácil ver que qualquer configuração que seja, se expandirá se não for contida por forças externas. Em uma configuração finita sem paredes de pressão-rolamento ou bobinas magnéticas, a integral de superfície será nula. Como todos os outros termos do lado direito são positivos, a aceleração do momentum de inércia também será positiva. Também é fácil de estimar o tempo de expansão τ. Se a massa total M está confinada dentro de um raio R, então o momentum de inércia é aproximadamente MR2, e o lado esquerdo do teorema do virial é MR 22. Os termos no lado direito somam até cerca de pR3, onde p é o maior entre a pressão de plasma e a pressão magnética. Equacionando esses dois termos e resolvendo para τ, encontramos

onde cs é a velocidade da onda acústica de íons (ou onda de Alfven), se a pressão magnética é maior que a pressão de plasma). Logo, a meia-vida esperada para um plasmóide é da ordem do tempo de trânsio acústico (ou de Alfven).

Referências[editar | editar código-fonte]

  1. Goldstein, Hebert - Classical Mechanics - Second Edition - Addison-Wesley Publishing Company - ISBN 0-201-02918-9
  2. Thornton,S. e Marion, J.,B. Classical Dynamics Of Particles and Systems (Fifth Edition), Thomson (2004), p.278
  3. George Schmidt, Physics of High Temperature Plasmas (Second edition), Academic Press (1979), p.72

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]