Variedade analítica

Em matemática, mais especificamente na geometria diferencial e na geometria complexa, uma variedade analítica complexa ou um espaço analítico complexo é uma generalização de uma variedade complexa que permite a presença de singularidades. Variedades analíticas complexas são espaços localmente anelados que são localmente isomorfos a espaços modelo locais, em que um espaço modelo local é um subconjunto aberto do conjunto de zeros de um conjunto finito de funções holomorfas.

Definição

Denote o feixe constante sobre um espaço topológico com valor $\mathbb {C}$ por ${\underline {\mathbb {C} }}$. Um $\mathbb {C}$ -espaço é um espaço localmente anelado $(X,{\mathcal {O}}_{X})$, cujo feixe estrutura é uma álgebra sobre ${\underline {\mathbb {C} }}$.

Escolha um subconjunto aberto $U$ de algum espaço afim complexo $\mathbb {C} ^{n}$, e fixe uma quantidade finita de funções holomorfas $f_{1},\dots ,f_{k}$ em $U$. Seja $X=V(f_{1},\dots ,f_{k})$ o conjunto de zeros em comum dessas funções holomorfas, isto é, $X=\{x\mid f_{1}(x)=\cdots =f_{k}(x)=0\}$. Defina um feixe de anéis em $X$ tomando ${\mathcal {O}}_{X}$ como a restrição a $X$ de ${\mathcal {O}}_{U}/(f_{1},\ldots ,f_{k})$, em que ${\mathcal {O}}_{U}$ é o feixe de funções holomorfas em $U$. Então, o $\mathbb {C}$ -espaço localmente anelado $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ é um espaço modelo local.

Uma variedade analítica complexa é um $\mathbb {C}$-espaço localmente anelado $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ que é localmente isomorfo a um espaço modelo local.

Morfismos de variedades analíticas complexas são definidos como morfismos dos espaços localmente anelados subjacentes, eles também são chamados de aplicações holomorfas.

Veja também

• Variedade algébrica
• Variedade complexa