Variedade complexa

Em geometria diferencial, uma variedade complexa é a variedade na qual cada vizinhança apresenta-se como um n-espaço complexo em uma via coerente. Mais precisamente, uma variedade complexa tem um atlas de cartas para o disco unidade aberta em $\mathbf{C}^n$, tais que a mudança de coordenadas entre cartas seja holomórfica.

O termo variedade complexa é variadamente usado para significar uma variedade complexa no sentido acima (o qual pode ser especificado como uma variedade complexa integrável), e uma estrutura quase complexa, como discutida abaixo.

Implicações da estrutura complexa

Dado que funções analíticas complexas são muito mais rígidas que as funções de classe $C$^∞, as teorias de variedades $C$^∞ e complexas têm aspectos muito diferentes: variedades complexas compactas são muito mais próximas a variedades algébricas que as variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema da imersão de Whitney nos diz que cada variedade $C$^∞ pode ser imersa como uma subvariedade de R$^n$, aonde é "raro" para uma variedade complexa ter uma imersão holomórfica em Cⁿ. Considera-se por exemplo qualquer compacto, variedade complexa conectada $M$: qualquer função holomórfica sobre ele é constante localmente pelo teorema de Liouville. Agora se nós temos uma imersão holomórfica de M em Cⁿ, então as funções coordenadas de Cⁿ se restringirão às funções holomórficas não-contantes em M, contradizendo a compactação, exceto no caso que M é apenas um ponto. variedades complex que podem ser imersas em Cⁿ são chamadas distribuições de Stein e formam uma classe muito especial de variedades, incluindo, por exemplo, variedades algébricas complexas $C$^∞ refinadas.

A classificação de distribuições complexas é muito mais sutil que a de distribuições diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões outra que não quatro, uma dada distribuição topológica tem mais finitas estruturas $C$^∞, uma distribuição topológica sustentando uma estrutura complexa pode e frequentemente o faz sustentar incontáveis estruturas complexas. superfícies de Riemann, distribuições bidimensionais munidas com uma estrutura complexa, as quais são topologicamente classificadas pelo gênero, são um importante exemplo deste fenõmeno. O conjunto de estruturas complexas sobre uma dada superfície orientada, equilalência biholomórfica em de módulo, em si forma uma variedade algébrica chamada um espaço de módulos, estrutura a qual é objeto de ativa pesquisa.

Desde que os mapas de transição entre cartas são biholomórficos, distribuições complexas são, em particular, $C$^∞ e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis: um mapa biholomórfico a (um subconjunto de) $\mathbf{C}^n$ dá uma orientação, como mapas biholomórficos são preservantes da orientação).

Exemplos de variedades complexas

• Superfícies de Riemann.
• O produto Cartesiano de duas variedades complexas.
• A imagem inversa de qualquer valor não crítico de um mapa holomórfico.

Variedades algébricas complexas lisas

Variedades algébricas complexas lisas são estruturas complexas, incluindo:

• Espaços vetoriais complexos.
• Espaços complexos projetivos , $\mathbb{CP}^n$.
• Grassmannianos complexos.
• Grupos de Lie complexos, tais como GL(n,C) ou Sp(n,C).

Similarmente, os quaterniônicos análogos destes são também estruturas complexas.

Simplesmente conectadas

As estruturas simplesmente conectadas 1-dimensionais complexas são:

• $\Delta$, o disco unidade em $\mathbb{C}$
• $\mathbb{C}$, o plano complexo
• $\hat{\mathbb{C}}$, a esfera de Riemann

Note-se que há inclusões entre estes como $\Delta \subset \mathbb{C} \subset \hat{\mathbb{C}}$, mas que não há nehum mapa não constante na outra direção, pelo teorema de Liouville.

Disco vs. Espaço vs. Polidisco

Os seguintes espaços são diferentes como estruturas complexas, demonstrando a geometria mais rígida característica característica de estruturas complexas (comparadas a estruturas lisas):

• o disco unidade ou bola aberta, $\{ z \in \mathbb{C}^n \mid \lVert z \rVert < 1\}$
• espaço complexo $\mathbb{C}^n$
• o polidisco $\{ z=(z_1, z_2, \dots, z_n) \in {\mathbb{C}}^n \mid \vert z_i \vert < 1, \mbox{ para todo } i = 1,\dots,n \}$