Variedade complexa

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Em geometria diferencial, uma variedade complexa é a variedade na qual cada vizinhança apresenta-se como um n-espaço complexo em uma via coerente. Mais precisamente, uma variedade complexa tem um atlas de cartas para o disco unidade aberta1 em \mathbf{C}^n, tais que a mudança de coordenadas entre cartas seja holomórfica.

O termo variedade complexa é variadamente usado para significar uma variedade complexa no sentido acima (o qual pode ser especificado como uma variedade complexa integrável), e uma estrutura quase complexa, como discutida abaixo.

Implicações da estrutura complexa[editar | editar código-fonte]

Dado que funções analíticas complexas são muito mais rígidas que as funções de classe C, as teorias de variedades C e complexas têm aspectos muito diferentes: variedades complexas compactas são muito mais próximas a variedades algébricas que as variedades diferenciáveis.

Por exemplo, o teorema da imersão de Whitney nos diz que cada variedade C pode ser imersa como uma subvariedade de R^n, aonde é "raro" para uma variedade complexa ter uma imersão holomórfica em Cn. Considera-se por exemplo qualquer compacto, variedade complexa conectada M: qualquer função holomórfica sobre ele é constante localmente pelo teorema de Liouville. Agora se nós temos uma imersão holomórfica de M em Cn, então as funções coordenadas de Cn se restringirão às funções holomórficas não-contantes em M, contradizendo a compactação, exceto no caso que M é apenas um ponto. variedades complex que podem ser imersas em Cn são chamadas distribuições de Stein e formam uma classe muito especial de variedades, incluindo, por exemplo, variedades algébricas complexas C refinadas.

A classificação de distribuições complexas é muito mais sutil que a de distribuições diferenciáveis. Por exemplo, enquanto em dimensões outra que não quatro, uma dada distribuição topológica tem mais finitas estruturas C, uma distribuição topológica sustentando uma estrutura complexa pode e frequentemente o faz sustentar incontáveis estruturas complexas. superfícies de Riemann, distribuições bidimensionais munidas com uma estrutura complexa, as quais são topologicamente classificadas pelo gênero, são um importante exemplo deste fenõmeno. O conjunto de estruturas complexas sobre uma dada superfície orientada, equilalência biholomórfica em de módulo, em si forma uma variedade algébrica chamada um espaço de módulos, estrutura a qual é objeto de ativa pesquisa.

Desde que os mapas de transição entre cartas são biholomórficos, distribuições complexas são, em particular, C e canonicamente orientadas (não apenas orientáveis: um mapa biholomórfico a (um subconjunto de) \mathbf{C}^n dá uma orientação, como mapas biholomórficos são preservantes da orientação).

Exemplos de variedades complexas[editar | editar código-fonte]

Variedades algébricas complexas lisas[editar | editar código-fonte]

Variedades algébricas complexas lisas são estruturas complexas, incluindo:

Similarmente, os quaterniônicos análogos destes são também estruturas complexas.

Simplesmente conectadas[editar | editar código-fonte]

As estruturas simplesmente conectadas 1-dimensionais complexas são:

Note-se que há inclusões entre estes como \Delta \subset \mathbb{C} \subset \hat{\mathbb{C}}, mas que não há nenhum mapa não constante na outra direção, pelo teorema de Liouville.

Disco vs. Espaço vs. Polidisco[editar | editar código-fonte]

Os seguintes espaços são diferentes como estruturas complexas, demonstrando a geometria mais rígida característica característica de estruturas complexas (comparadas a estruturas lisas):

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Um deve usar o disco unidade aberto em \mathbf{C}^n como o espaço modelo em vez de \mathbf{C}^n porque não são isomórficos, diferentemente de variedades reais.
  2. Isto significa que todos os espaço projetivos complexos são orientáveis, em contraste com o caso real
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