Operador fechado: diferenças entre revisões
O símbolo do operador estava trocado: Seria T ao invés de A.
Fiz algumas alterações pontuais. |
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==Exemplo== |
==Exemplo== |
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Considere <math>X=C^0[a,b]\,</math> o espaço das [[função contínua|funções contínuas]] no [[intervalo (matemática)|intervalo]] <math>[a,b]\,</math> e <math> |
Considere <math>X=C^0[a,b]\,</math> o espaço das [[função contínua|funções contínuas]] no [[intervalo (matemática)|intervalo]] <math>[a,b]\,</math> e <math>T\,</math> o operador [[derivada]]: |
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:<math>Tf = \frac{d}{dx}f\,</math>, definido no domínio |
:<math>Tf := \frac{d}{dx}f\,</math>, definido no domínio |
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:<math>D(T) = C^1[a,b]\,</math> |
:<math>D(T) = C^1[a,b]\,</math> |
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Então se <math>f_n(x)\to f\,</math> e <math>Tf_n(x)\to g\,</math> ambos na [[norma do supremo]] ou, equivalentemente, [[convergência uniforme|uniformemente]], então, é |
Então se <math>f_n(x)\to f\,</math> e <math>Tf_n(x)\to g\,</math> ambos na [[norma do supremo]] ou, equivalentemente, [[convergência uniforme|uniformemente]], então, não é difícil ver que: |
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:<math>Tf_n\to Tf\,</math> |
:<math>Tf_n\to Tf\,</math> |
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Revisão das 17h58min de 2 de julho de 2014
Em matemática, especialmente na análise funcional, os operadores lineares fechados formam uma importante classe de operadores lineares em espaços de Banach. Todo operador linear limitado é fechado e muitos operadores lineares não-limitados de importância na matemática aplicada são fechados. A classe dos operadores fechados são suficientemente bem comportados a ponto de se poder desenvolver um teorema espectral para eles.
Seja um espaço de Banach. Um operador linear A
é dito fechado se para cada seqüência em que converge para um ponto tal que tem-se que:
- e
Equivalentemente, é fechado se e somente se seu gráfico é fechado.
Exemplo
Considere o espaço das funções contínuas no intervalo e o operador derivada:
- , definido no domínio
Então se e ambos na norma do supremo ou, equivalentemente, uniformemente, então, não é difícil ver que:
Teorema
- O teorema do gráfico fechado afirma que um operador fechado definido em todo espaço é contínuo. Portanto, um operador fechado descontínuo, como o exemplo acima, não pode ser definido em todo o espaço.