Hipótese de Riemann

Problemas do Prémio Millennium
P versus NP
Conjectura de Hodge
Conjectura de Poincaré (solução)
Hipótese de Riemann
Existência de Yang-Mills e intervalo de massa
Existência e suavidade de Navier-Stokes
Conjectura de Birch e Swinnerton-Dyer

Gráficos das partes real (a vermelho) e imaginária (a azul) da linha crítica da função zeta de Riemann.

A hipótese de Riemann é uma hipótese (ou conjectura) matemática, publicada pela primeira vez em 1859 por Bernhard Riemann, que declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann pertencem todos à "linha crítica":

$\sigma =\mathbb {R} [s]=1/2$

onde $\mathbb {R} [s]$ denota a parte real de s.

Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares: $\{-2,-4,-6,...\}$.

A hipótese de Riemann sobre os números primos é de tal importância que tem intrigado os matemáticos por 156 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem prová-lo.

O professor nigeriano Dr. Opeyemi Enoch, que leciona na Universidade Federal de Oye-Ekiti, afirmou ter resolvido o problema em novembro de 2015. Entretanto, isso não aparece ser verdade, no blog Aperiodical, os matemáticos Katie Steckles e Christian Lawson-Perfect expressam seu ceticismo, dizendo que a Hipótese de Riemann seguramente não foi resolvida. Eles escrevem:

"Infelizmente, parece que neste caso não temos uma prova real da hipótese de Riemann… há um artigo no academia.edu sob o nome de Enoch, que na verdade é uma cópia de um artigo de outra pessoa chamada Werner Raab… Estranhamente, Enoch parece estar reunindo vários estudos sobre a Hipótese de Riemann no site academia.edu sob seu próprio nome."

Relação com números primos

Por razões mais profundas, o problema está relacionado com várias questões sutis envolvendo os números primos. Por exemplo: se $p_{k}$ denota o $k$-ésimo número primo (de modo que $p_{1}=2$, $p_{2}=3$, $p_{3}=5$, $p_{4}=7$, $p_{5}=11$ e assim por diante), um resultado provado por Cramer em 1919 estabelece que a diferença entre dois números primos consecutivos, $p_{k+1}-p_{k}$, cresce "na mesma velocidade" que ${\sqrt {p_{k}}}\log(p_{k})$. Mais especificamente, existe uma constante real positiva $M>0$ de maneira que vale a desigualdade

$p_{k+1}-p_{k}<M({\sqrt {p_{k}}}\log(p_{k}))$

para todo $k$ suficientemente grande. Para provar este resultado, a demonstração de Cramer utilizou crucialmente a Hipótese de Riemann, de maneira que este resultado pode em princípio ser falso, caso a Hipótese também seja.

Ver também

• Problemas do Prémio Millenium
• Números Primos
• Bernhard Riemann
• Problemas em aberto na matemática

Referências

Resolução da equação http://www.telegraph.co.uk/news/worldnews/africaandindianocean/nigeria/12000314/The-Riemann-Hypothesis-solution-found-by-Dr-Opeyemi-Enoch.html