Existência e suavidade de Navier-Stokes

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As Equações de Navier-Stokes são um dos pilares da mecânica de fluidos. Estas equações descrevem o movimento de um fluido (líquido ou gás) no espaço físico.

As soluções das equações de Navier-Stokes são utilizadas em diversas aplicações práticas, entretanto, o entendimento teórico destas soluções são incompletos. Particularmente, geralmente as soluções destas equações incluem turbulência, as quais se mantem como um dos maiores problemas em aberto da física, apesar de sua imensa importância para a física teórica e a engenharia.

Já que o completo entendimento das equações de Navier–Stokes é considerado o primeiro passo para o entendimento da turbulência, o Clay Mathematics Institute ofereceu em maio de 2010 um prêmio de um milhão de dólares para qualquer pessoa que comprove estas equações e forneça uma pista para o fenômeno da turbulência. O desafio é explicado como um problema matemático concreto.[1]

As equações de Navier-Stokes[editar | editar código-fonte]

Na matemática, as equações de Navier-Stokes são um sistema não linear com equação de derivadas parciais para campos de vetores abstratos de qualquer tamanho. Na física e na engenharia, eles são um sistema de equações que modela o movimento de líquidos e de gases não rarefeitos utilizando a mecânica de meios contínuos.

Suponha \mathbf{v}(\boldsymbol{x},t) seja um vetor tridimensional da velocidade do fluido, e p(\boldsymbol{x},t) seja a pressão do fluido.[nota 1] As equações de Navier-Stokes serão:

\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + ( \mathbf{v}\cdot\nabla ) \mathbf{v} = -\nabla p + \nu\Delta \mathbf{v} +\mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)

onde \nu > 0 é a viscosidade cinemática, \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t) é a força externa, \nabla é o gradiente e \displaystyle \Delta é o operador laplaciano, que também é denotado por \nabla\cdot\nabla. Perceba que isto será uma equação vetorial, ou seja ela possui três equações escalares. Pode-se escrever as coordenadas da velocidade e da força externa da seguinte forma:

\mathbf{v}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,v_1(\boldsymbol{x},t),\,v_2(\boldsymbol{x},t),\,v_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)\,,\qquad \mathbf{f}(\boldsymbol{x},t)=\big(\,f_1(\boldsymbol{x},t),\,f_2(\boldsymbol{x},t),\,f_3(\boldsymbol{x},t)\,\big)

então para cada i=1,2,3 tem-se o escalar correspondente da equação de Navier–Stokes:

\frac{\partial v_i}{\partial t} +\sum_{j=1}^{3}v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}= -\frac{\partial p}{\partial x_i} + \nu\sum_{j=1}^{3}\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2} +f_i(\boldsymbol{x},t).

A velocidade \mathbf{v}(\boldsymbol{x},t) e a pressão p(\boldsymbol{x},t) são os parâmetros desconhecidos. Já que para um sistema tridimensional se obteve três equações e quatro parâmetros desconhecidos (os três escalares da velocidade e a pressão), faz-se necessário uma equação suplementar. Esta equação extra é a equação de continuidade que descreve o incompressibilidade do fluido.

 \nabla\cdot \mathbf{v} = 0.

De acordo com esta última propriedade, as soluções para as equações de Navier–Stokes são procuradas dentro do conjunto de funções livre de divergências. Para que este fluxo, densidade e viscosidade são constantes.

Descrição do problema[editar | editar código-fonte]

Hipóteses e condições do crescimento[editar | editar código-fonte]

A condição inicial \mathbf{v}_0(x) assume-se sendo uma função suave e livre de divergência de forma que para cada índice múltiplo \alpha e qualquer K > 0 \ , existe uma constante C=C(\alpha,K)>0 \ tal que

\vert \partial^\alpha \mathbf{v_0}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert)^K}\qquad for all \qquad x\in\mathbb{R}^3.

A força externa \mathbf{f}(x,t) assume-se sendo também uma função suave e que satisfaça a desigualdade

\vert \partial^\alpha \mathbf{f}(x)\vert\le \frac{C}{(1+\vert x\vert + t)^K}\qquad for all \qquad (x,t)\in\mathbb{R}^3\times[0,\infty).

Para condições físicas razoáveis, o tipo de solução esperada será funções suaves que não cresçam da forma \vert x\vert\to\infty. Mais precisamente, assume-se que:

  1. \mathbf{v}(x,t)\in\left[C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))\right]^3\,,\qquad p(x,t)\in C^\infty(\mathbb{R}^3\times[0,\infty))
  2. Existe uma constante E\in (0,\infty) tal que \int_{\mathbb{R}^3} \vert \mathbf{v}(x,t)\vert^2 dx <E para todo t\ge 0\,.

A condição 1 implica que as funções serão suaves e globalmente definidas e a condição 2 significa que o energia cinética da solução é globalmente contida.

O prêmio de um milhão de dólares[editar | editar código-fonte]

Prove or give a counter-example of the following statement:

In three space dimensions and time, given an initial velocity field, there exists a vector velocity and a scalar pressure field, which are both smooth and globally defined, that solve the Navier–Stokes equations.

  1. Comprovar a existência e a suavidade das soluções de Navier–Stokes em \mathbb{R}^3
  2.  :Supondo \mathbf{f}(x,t)\equiv 0. Para qualquer condição inicial \mathbf{v}_0(x) que satisfaça as hipóteses acima, exista suavidade e soluções definidas globalmente para as equações de Navier–Stokes, ou seja haverá um vetor velocidade \mathbf{v}(x,t) e uma pressão p(x,t) \ que satisfaça as condições 1 e 2 acima.
  3. Comprovar a completude das soluções de Navier–Stokes em \mathbb{R}^3
  4.  :Existindo a condição inicial \mathbf{v}_0(x) e uma força externa \mathbf{f}(x,t) tal que não existam soluções \mathbf{v}(x,t) e p(x,t) \ que satisfaçam as condições 1 e 2 acima.

Resultados parciais[editar | editar código-fonte]

  1. O problema de Navier–Stokes para um sistema bidimensional foi solucionado na década de 1960.[2]
  2. O problema de Navier–Stokes foi solucionado para um sistema tridimensional se a velocidade for suficientemente pequena.[1]
  3. Dada uma velocidade inicial, existe um tempo finito que depende desta velocidade tal que as equações de Navier–Stokes em \mathbb{R}^3\times(0,T) possui soluções suaves, mas ainda não foi comprovado para tempos infinitos.[1]
  4. O matemático francês Jean Leray provou em 1934 a existência da chamada solução fraca para as equações de Navier–Stokes que satisfazem as equações no valor médio, mas não pontualmente.[3]
  5. Atualmente, a equação geral foi resolvida pelo matemático cazaque Mukhtarbai Otelbaev e está sendo analizada pelo comitê do Clay Mathematics Institute.[4]

Notas

  1. Mais precisamente, p(\boldsymbol{x},t) será a pressão divida pela densidade do fluido, e a densidade será constante para este fluido incomprimível e homogêneo.

Referências

  1. a b c Official statement of the problem (em inglês) Clay Mathematics Institute. Visitado em 15 de outubro de 2010.
  2. Ladyzhenskaya, O.. The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flows (em inglês). 2. ed. New York: Gordon and Breach, 1969.
  3. Leray, J.. (1934). "Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace" (em francês). Acta Mathematica 63: 193–248. DOI:10.1007/BF02547354.
  4. "Mathematik: Kasache will Millenniumsproblem gelöst haben - Der Spiegel". Página visitada em 22 de janeiro de 2014.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]