Integral de linha

Integral de linha de um campo escalar, f. A área sob a curva C, traçada sobre a superfície definida por z = f(x,y), é o valor da integral..

Em matemática, a integral de linha é a integral onde a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial.

Definição

A integral de linha é definida como a integração de uma função ao longo de uma curva. Como motivação para a definição da integral de linha considere o problema de determinar a massa de um linha fina cuja função de densidade linear (massa por unidade de comprimento) seja conhecida. Para realizar esse procedimento consideraremos que C é uma curva lisa, isto é, contínua num dado intervalo do espaço tridimensional. Para cada ponto (x,y,z) do espaço denotamos por f(x,y,z) a função densidade linear. Modelando C entre os pontos P e Q do espaço dividimos C em n partes pequenas.

$P,P_{1},P_{2},...,P_{n}=Q$

Sendo $\Delta M_{k}$ a massa da k-ésima seção e $\Delta S_{k}$ o comprimento do arco entre um ponto qualquer $P_{k}$ e seu antecessor. Escolhendo um um ponto arbitrário $P_{a}$ se $\Delta S_{k}$ for muito pequeno o valor de f não varia muito ao longo da seção e é possível aproximar a função densidade na seção pelo valor em $P_{a}$. Multiplicando a Função densidade aproximada pelo comprimento da seção obtêm-se o valor aproximado da massa naquele trecho da curva. Portanto se somarmos todos os trechos encontraremos a massa aproximada da curva C. No limite em que $\Delta S_{k}$ tender a zero a Massa convergirá para seu valor exato. Desse modo:

$M=\lim _{\Delta S_{k}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{k},y_{k},z_{k})\Delta S_{k}$ onde $M$ é a massa total da curva C.

Sendo assim definimos a integral de linha ao longo da curva C como:

$\int _{C}\!f(x,y,z)\,ds=\lim _{\Delta S_{k}\to 0}\sum _{i=1}^{n}f(x_{k},y_{k},z_{k})\Delta S_{k};$

Seja $F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+E(x,y,z)k$ um campo vetorial contínuo, definido em D aberto conexo em $\mathbb {R}$³ e, seja, r uma curva simples em D dada por $r(t)=(x(t),y(t),z(t))$, $t\in [a,b]$, então a integral de linha de F ao longo de r é dado por: $\int _{r}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

e portanto, a integral de linha do campo de vetores F é a integral de caminho da componente tangencial de F ao longo de C.

Conceito geral

Dada uma curva, a integral de linha de um campo vetorial sobre essa curva dará o somatório de todos os produtos escalares entre os vetores diferenciais da curva (vetores que indicam a direção da curva) e o campo vetorial sobre esta curva.

Ver também

• Cálculo vetorial
• Integral de superfície