Lei de Wien

Lei de Wien

A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) é a lei da física que afirma que existe um relação inversa entre o comprimento de onda que produz um pico de emissão de um corpo negro e a sua temperatura.

$\lambda_{max} = \frac{b}{T}$

onde

$\lambda_{max} \,$ é o comprimento de onda que gera o pico em metros,

$T \,$ é a temperatura do corpo negro em kelvin (K), e

$b \,$ é a constante de proporcionalidade, chamada constante de dispersão de Wien, em kelvin-metros.

O valor dessa constante é $b = 2.8977685 \times 10^{-3}$

O que resulta em:

$\lambda_\mbox{max} = \frac{0.0028976 m}{T}$

As consequências da lei de Wien é que quanto maior seja a temperatura de um corpo negro menor é o comprimento de onda na qual emite. Por exemplo, a temperatura da fotosfera solar é de 5780 K e o pico de emissão se produz a 475 nm =$(4,75 \cdot 10^{-7} m)$. Como 1 angstrom 1 Å= 10⁻¹⁰ m=10⁻⁴ micras resulta que o máximo ocorre a 4750 Å. Como o espectro visível se estende desde 4000 Å até 7400 Å, este comprimento de onda cai dentro do espetro visíble sendo um tom de verde. Entretanto, devido à dispersão de Rayleigh da luz azul pela atmosfera o componente azul se separa distribuindo-se pela abóbada celeste e o Sol aparece amarelento.

Dedução da Lei de Wien

Esta lei foi formulada empiricamente por Wilhelm Wien. Entretanto, hoje se deduz da lei de Planck para a radiação de um corpo negro da seguinte maneira:

$E(\lambda,T)={C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}={C_1 \cdot \lambda^{-5}\over (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}$

onde as constantes valem no Sistema Internacional de Unidades ou sistema MKS:

$C_1=8 \pi h c=4,99589\cdot 10^{-24}[J\cdot m]$

$C_2={h c \over k}=1,4385 \cdot 10^{-2} {m \cdot K}=1,4385 \cdot 10^4 [\mu m \cdot K]$

Para encontrar o máximo da derivada da função com respeito a $\lambda$ tem de ser zero.

${\partial (E(\lambda,T)) \over \partial \lambda}=0$

Basta utilizar a regra de derivação do quociente e como se tem que igualar a zero, o numerador da derivada será nulo ou seja:

$\frac {c_2}{\lambda \cdot T}=5 \cdot (1-e^{-C_2 \over \lambda \cdot T})$

Se definimos

$x\equiv{c_2\over\lambda T }$

então

${x\over 1-e^{-x}}-5=0$

Esta equação não pod ser resolvida mediante funções elementares. Como uma solução exata não é important podemos optar por soluções aproximadas. Se pode encontrar facilmente um valor aproximado para $x$:

Se x:

é grande resulta que aproximadamente $e^{-x}=0 \,$ assim que x está próximo de 5. Assim que aproximadamente $x=5(1-e^{-5})=4.9663 \,$.

Utilizando o método de Newton ou da tangente:

$x = 4.965114231744276\ldots$

Da definição de x resulta que:

$\lambda_{\max} \cdot T=\frac{c_2}{x}=\frac{1.4385 \cdot 10^4}{4.965114231744276}=2897,6 \mu m K$

Assim que a constante de Wien é $2897,6 \mu m \cdot K$ pelo que:

$\lambda_{\max} \cdot T = 2897,6 \mu m \cdot K$

Ligações externas

• Fórmula empírica de Wien - fma.if.usp.br