Lei de Wien

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Lei de Wien

A lei de Wien (ou lei do deslocamento de Wien) é a lei da física que relaciona o comprimento de onda onde se situa a máxima emissão de radiação eletromagnética de corpo negro e sua temperatura:

\lambda_{max} = \frac{b}{T}

onde

\lambda_{max} \, é o comprimento de onda (em metros) onde a intensidade da radiação eletromagnética é a máxima;
T \, é a temperatura do corpo em kelvin (K), e
 b \, é a constante de proporcionalidade, chamada constante de dispersão de Wien, em m.K (metro x Kelvin).

O valor dessa constante é  b = 2.8977685 \times 10^{-3} m.K

O que resulta em:

\lambda_\mbox{max} = \frac{0.0028976}{T}

As consequências da lei de Wien é que quanto maior seja a temperatura de um corpo negro menor é o comprimento de onda na qual emite. Por exemplo, a temperatura da fotosfera solar é de 5780 K e o pico de emissão se produz a 475 nm =(4,75 \cdot 10^{-7} m). Como 1 angstrom 1 Å= 10−10 m=10−4 micras resulta que o máximo ocorre a 4750 Å. Como o espectro visível se estende desde 4000 Å até 7400 Å, este comprimento de onda cai dentro do espetro visíble sendo um tom de verde. Entretanto, devido à dispersão de Rayleigh da luz azul pela atmosfera o componente azul se separa distribuindo-se pela abóbada celeste e o Sol aparece amarelento.

Dedução da Lei de Wien[editar | editar código-fonte]

Esta lei foi formulada empiricamente por Wilhelm Wien. Entretanto, hoje se deduz da lei de Planck para a radiação de um corpo negro da seguinte maneira:

 E(\lambda,T)={C_1 \over \lambda^5 \cdot (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}={C_1 \cdot \lambda^{-5}\over (e^{C_2 \over \lambda \cdot T}-1)}

onde as constantes valem no Sistema Internacional de Unidades ou sistema MKS:

 C_1=8 \pi h c=4,99589\cdot 10^{-24}[J\cdot m]
 C_2={h c \over k}=1,4385 \cdot 10^{-2} {m \cdot K}=1,4385 \cdot 10^4 [\mu m \cdot K]

Para encontrar o máximo, a derivada da função com respeito a \lambda tem de ser zero.

 {\partial (E(\lambda,T)) \over \partial \lambda}=0

Basta utilizar a regra de derivação do quociente e como se tem que igualar a zero, o numerador da derivada será nulo ou seja:

\frac {c_2}{\lambda \cdot T}=5 \cdot (1-e^{-C_2 \over \lambda \cdot T})

Se definimos

x\equiv{c_2\over\lambda T }

então

{x\over 1-e^{-x}}-5=0

Esta equação não pode ser resolvida mediante funções elementares. Como uma solução exata não é importante, podemos optar por soluções aproximadas. Pode-se encontrar facilmente um valor aproximado para x:

Se x:

é grande resulta que aproximadamente e^{-x}=0 \, assim que x está próximo de 5. Assim que aproximadamente x=5(1-e^{-5})=4.9663 \,.

Utilizando o método de Newton ou da tangente:

x = 4.965114231744276\ldots

Da definição de x resulta que:

\lambda_{\max} \cdot T=\frac{c_2}{x}=\frac{1.4385 \cdot 10^4}{4.965114231744276}=2897,6 \mu m K

Assim que a constante de Wien é 2897,6 \mu m \cdot K pelo que:

\lambda_{\max} \cdot T = 2897,6 \mu m \cdot K

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