Modelo de Solow

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Na teoria ecônomica do crescimento, o modelo de Solow-Swan é um modelo neoclássico do crescimento, cujo nome foi dado em homenagem ao Prêmio de Ciências Econômicas Robert Solow.

Este modelo estuda o crescimento da economia de um país em um longo período. Ele apresentou como fonte de crescimento econômico: a acumulação de capital, o crescimento da força de trabalho e as alterações tecnológicas. Robert Solow preocupou-se em demonstrar que o produto per capita é uma função crescente da razão entre capital e trabalho. A força de trabalho cresce a uma taxa natural (exógena ao modelo) então é necessária uma quantidade de poupança per capita, que deve ser utilizada para equipar os novos trabalhadores com uma quantidade de capital per capita K, igual a dos outros trabalhadores. Outra parte da poupança deve ser utilizada para garantir a não depreciação do capital. A primeira parte da poupança citada acima para equipar os novos trabalhadores é chamada "alargamento do capital" (expansão da força de trabalho) e a poupança utilizada para aumentar a razão capital-trabalho se chama "aprofundamento do capital". Para alcançarmos a situação de steady state (estado estável) é necessário que a poupança per capita seja igual ao alargamento do capital. O capital por trabalhador K, tem um rendimento decrescente então chegando a esse ponto de equilíbrio não adianta investir mais no trabalhador que está na situaçâo da poupança per capita igual ao alargamento do capital porque não se estará maximizando a produtividade deste trabalhador. Assim o condicionante do crescimento econômico é a taxa de crescimento da força de trabalho.

Assunções[editar | editar código-fonte]

Para Romer (1996, p. 15-25),[1] o modelo de Solow assume que:

  • A função de produção tem 4 variáveis: o produto (Y), o capital (K), o trabalho (L) e o conhecimento ou "eficiência do trabalho" (A), de maneira que:
f[Y(t)] = f[K(t), A(t)*L(t) ]
  • A função de produção tem retornos constantes de escala em seus dois argumentos, capital (K) e trabalho efetivo (AL).
  • Outros insumos que não os da função acima citada, inclusive terra, são relativamente desimportantes
  • Os níveis iniciais de capital, trabalho e conhecimento são dados.
  • L e A crescem a taxas constantes...
  • O produto é dividido entre consumo e investimento
  • A fração destinada ao investimento é exógena e constante.
  • O capital também deprecia a uma taxa constante
  • A economia converge para uma situação onde cada variável do modelo cresce a uma taxa constante. Nesse ponto, a taxa de crescimento do produto por trabalhador é determinado somente pela taxa de crescimento tecnológico.

Papel da poupança: maior produto no estado estacionário[editar | editar código-fonte]

O modelo de Solow mostra que a taxa de poupança é o principal determinante do estoque de capital no estado estacionário. O aumento da taxa de poupança faz a economia crescer até que alcance o novo estado estacionário. Assim, a acumulação de capital é a poupança descontada da taxa de depreciação.

Para Ellery Jr. e Gomes (2003, p. 5),[2] "podemos chegar a duas conclusões importantes sobre o modelo de Solow, uma de caráter mais teórico e outra capaz de sugerir políticas macroeconômicas. A primeira conclusão é que a partir de um certo período o estoque de capital e o produto por unidades de eficiência chegam a um valor constante. Note que se o produto por unidade de eficiência é constante o consumo e o investimento também devem ser constantes, visto que ambos são frações do produto. Desta forma podemos dizer que em um certo momento a economia chegará a uma situação onde todas as variáveis medidas em unidades de eficiência tornar-se-ão constantes no tempo, quando uma economia encontra-se nesta situação dizemos que ela atingiu o estado estacionário.

A segunda conclusão diz respeito ao valor do produto no estado estacionário, note que quanto maior a taxa de poupança maior será o produto por unidades de eficiência no estado estacionário. Isto sugere que uma maneira de tornar um país mais rico seria implementar políticas que aumentem a taxa de poupança." [grifo não está no original]

Estudos posteriores[editar | editar código-fonte]

Para Sachs e Larrain (2000, p. 598),[3] "grande parte dos trabalhos empíricos posteriores [a Solow] foram baseados em ampliações e sofisticações do esquema geral [deste modelo]. Basicamente, tentaram melhorar a qualidade dos dados e classificaram as séries de capital e mão-de-obra por tipo. Por exemplo, no caso da mão-de-obra, o insumo total foi subdividido em categorias por idade, educação e geração."


Matemática do modelo[editar | editar código-fonte]

O livro didático modelo de Solow-Swan é definido no mundo de tempo contínuo com nenhum governo ou o comércio internacional. A única boa (saída) é produzido usando dois fatores de produção, trabalho (L) e de capital (K) em uma função de produção agregada que satisfaça as condições de Inada, que implica que a elasticidade de substituição deve ser assintoticamente igual a um.[4] [5]

Y(t)=K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}\,

Onde t denota tempo, 0 < \alpha < 1 é a elasticidade do produto em relação ao capital, e Y(t) representa a produção total. A refere-se a tecnologia de aumentar o trabalho ou "conhecimento", assim AL representa o trabalho efetivo. Todos os fatores de produção estão plenamente empregados, e os valores iniciais A(0), K(0) e L(0) são dadas. O número de trabalhadores, ou seja, de trabalho, bem como o nível de tecnologia crescem exogenamente a taxas n e g, respectivamente:

L(t) = L(0)e^{nt}
A(t) = A(0)e^{gt}

O número de unidades de trabalho, A(t) L(t), portanto, cresce a uma taxa (n + g). Enquanto isso, o estoque de capital se deprecia ao longo do tempo a uma taxa constante \delta. No entanto, apenas uma fração da saída (CY(t) com 0 < c < 1) é consumido, deixando uma parte salva s = 1 - c para investimento:

\dot{K}(t) = sY(t) - {\delta}K(t)\,

Onde \dot{K} é um atalho para \frac{dK(t)}{dt}, a derivada em relação ao tempo. Derivada em relação ao tempo significa que é a mudança no capital social-saída que não é nem salva nem usado para substituir bens de capital velhos desgastados é o investimento líquido. Uma vez que a função de produção Y(K, AL) tem retornos constantes de escala, pode ser escrito como a produção por unidade de trabalho eficaz:[nota 1]

y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = k(t)^{\alpha}

O interesse principal do modelo é a dinâmica da intensidade de capital k, o estoque de capital por unidade de trabalho efetivo. O seu comportamento ao longo do tempo é dada pela equação de chave do modelo de Solow-Swan:[nota 2]

\dot{k}(t) = sk(t)^{\alpha} - (n + g + \delta)k(t)

O primeiro termo, sk(t)^{\alpha} = sy(t), é o investimento atual por unidade de trabalho efetivo: a fração s da produção por unidade de trabalho efetivo y(t), que é poupado e investido. O segundo termo, (n + g + \delta)k(t), é o “investimento break-even”: o montante de investimento que devem ser investidos para prevenir a queda de k.[6] :16 A equação implica que k(t) converge para um valor em estado estacionário em k^*, definida por sk(t)^{\alpha} = (n + g + \delta)k(t), em que não há nem um aumento nem diminuição da intensidade de capital:

k^* = \left( \frac{s}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \,

em que o estoque de capital K e trabalho eficaz AL estão crescendo a uma taxa (n + g). Por hipótese de retornos constantes, saída Y é também crescente a essa taxa. Em essência, o modelo de Solow-Swan prevê que a economia irá convergir para um equilíbrio do crescimento equilibrado, independentemente do seu ponto de partida. Nessa situação, o crescimento da produção por trabalhador é determinado unicamente pela taxa de progresso tecnológico.[6] :18 Uma vez que, por definição, \frac{K(t)}{Y(t)} = k(t)^{1-\alpha}, no equilíbrio k^* nós temos

\frac{K(t)}{Y(t)} = \frac{s}{n + g + \delta}

Portanto, no equilíbrio, a relação \frac{capital}{produto} depende apenas de economia, crescimento e taxas de depreciação. Esta é a versão do modelo de Solow-Swan da taxa de poupança regra de ouro. Desde {\alpha} < 1, a qualquer momento t o produto marginal do capital K(t) no modelo de Solow-Swan é inversamente relacionada com a relação \frac{capital}{trabalho}.

MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}= \frac{{\alpha}A^{1-\alpha}}{(\frac{K}{L})^{1-\alpha}}

Se a produtividade A é o mesmo países de todo, em seguida, os países com menos capital por trabalhador \frac{K}{L} tem um produto superior marginal, o que proporcionaria um maior retorno sobre o investimento de capital. Como conseqüência, o modelo prevê que em um mundo de economias de mercado aberto e do capital financeiro global, o investimento vai fluir dos países ricos para os países pobres, até que o \frac{capital}{trabalhador} \frac{K}{L} e \frac{renda}{trabalhador} \frac{Y}{L} equalizar entre os países. Desde que o produto marginal do capital físico não é mais elevada nos países pobres do que nos países ricos, [7] a implicação é que a produtividade é menor nos países pobres. O modelo básico de Solow não pode explicar porque a produtividade é menor nesses países. Lucas sugere que níveis mais baixos de capital humano nos países pobres poderia explicar a menor produtividade.[8] Se um iguala o produto marginal do capital \frac{\partial Y}{\partial K} com a taxa de retorno r (tal aproximação é frequentemente usado em economia neoclássica), então, para a nossa escolha da função de produção

 \alpha = \frac{K\frac{\partial Y}{\partial K}}{Y} = \frac{rK}{Y} \,

para que \alpha é a fração da renda apropriada pelo capital. Assim, o modelo de Solow-Swan assume desde o início que a divisão da renda entre capital e trabalho se mantém constante.

Versão Mankiw-Romer-Weil de modelo[editar | editar código-fonte]

Adicionando Capital Humano[editar | editar código-fonte]

N. Gregory Mankiw, David Romer e David Weil criaram uma versão do modelo de Solow-Swan adicionando o capital humano, que pode explicar o fracasso do investimento internacional ao fluir para os países pobres.[9] Neste resultado do modelo e do produto marginal do capital (K) são menores nos países pobres porque têm menos capital humano do que os países ricos. Semelhante ao livro didático do modelo de Solow-Swan, a função de produção é do tipo Cobb-Douglas:

Y(t) = K(t)^{\alpha} H(t)^{\beta} (A(t)L(t))^{1 - \alpha - \beta},

Onde H(t) é o estoque de capital humano, o que deprecia na mesma proporção \delta como capital físico. Por questões de simplicidade, que assumem a mesma função de acumulação de ambos os tipos de capital. Como em Solow-Swan, uma fração do resultado, sY(t), é salvo a cada período, mas, neste caso, se separaram e investiu em parte física e parte em capital humano, de modo que s = s_{K} + s_{H}. Portanto, há duas equações dinâmicas fundamentais neste modelo:

\dot{k} = s_{K}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)k
\dot{h} = s_{H}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)h

O caminho de crescimento de equilíbrio equilibrada (ou de estado estacionário) é determinada por \dot{k} = \dot{h} = 0, o que o principal s_{K}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)k = 0 e s_{H}k^{\alpha}h^{\beta} - (n + g + \delta)h = 0. Resolvendo para o nível de estado estacionário k e h rendimentos:

k^* = \left( \frac{s_{K}^{1 - \beta} s_{H}^{\beta}}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}
h^* = \left( \frac{s_{K}^{\alpha} s_{H}^{1- \alpha}}{n + g + \delta} \right)^{\frac{1}{1- \alpha- \beta}}

No estado estacionário, y^{*} = (k^{*})^{\alpha} (h^{*})^{\beta}.

Estimativas econométricas[editar | editar código-fonte]

Klenow e Rodriguez-Clare lançaram dúvidas sobre a validade do modelo aumentada porque as estimativas Mankiw, Romer e Weil de {\beta} não parecem consistentes com as estimativas aceitas de o efeito de aumento da escolaridade sobre os salários dos trabalhadores. Embora o modelo estimado explica 78% da variação da renda entre os países, as estimativas de {\beta} deu a entender que os efeitos externos do capital humano sobre a renda nacional é maior do que seu efeito direto sobre os salários dos trabalhadores.[10]

Contabilização dos efeitos externos[editar | editar código-fonte]

Theodore Breton forneceu uma visão que reconciliou o grande efeito do capital humano de escolaridade no modelo de Mankiw, Romer e Weil com o menor efeito da escolaridade sobre os salários dos trabalhadores. Ele demonstrou que as propriedades matemáticas do modelo incluem efeitos externos significativas entre os factores de produção, porque o capital humano e capital físico são factores multiplicativos de produção.[11]

O efeito externo do capital humano sobre a produtividade do capital físico é evidente no produto marginal do capital físico:

MPK=\frac{\partial Y}{\partial K}= \frac{{\alpha}A^{1-\alpha}(\frac{H}{L})^{\beta}} {(\frac{K}{L})^{1-\alpha}}

Ele mostrou que os grandes estimativas do efeito do capital humano nas estimativas do modelo pelo país são consistentes com o efeito menor normalmente encontrados em salários dos trabalhadores quando os efeitos externos do capital humano em capital físico e trabalho são levadas em conta. Essa percepção reforça significativamente o caso para a versão Mankiw, Romer e Weil do modelo de Solow-Swan. A maioria das análises que criticam esse modelo não levam em conta os efeitos externos de ambos os tipos de capital inerentes ao modelo.[11]

Produtividade Total dos Fatores[editar | editar código-fonte]

A taxa exógena de PTF (Produtividade Total dos Fatores) crescimento no modelo de Solow-Swan é o resíduo após a contabilização de acumulação de capital. O Mankiw, Romer e Weil modelo fornece uma estimativa inferior da PTF (residual) do que o modelo básico de Solow-Swan, porque a adição de capital humano para o modelo permite a acumulação de capital para explicar mais a variação da renda entre os países. No modelo básico do residual PTF inclui o efeito do capital humano, pois o capital humano não é incluído como um fator de produção.


Notas

  1. Calculo passo-a-passo: y(t) = \frac{Y(t)}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}(A(t)L(t))^{1-\alpha}}{A(t)L(t)} = \frac{K(t)^{\alpha}}{(A(t)L(t))^{\alpha}} = k(t)^{\alpha}
  2. Calculo passo-a-passo: \dot{k}(t) = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{[A(t)L(t)]^2}[A(t)\dot{L}(t)+L(t)\dot{A}(t)] = \frac{\dot{K}(t)}{A(t)L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{L}(t)}{L(t)} - \frac{K(t)}{A(t)L(t)} \frac{\dot{A}(t)}{A(t)}. Desde que \dot{K}(t) = sY(t) - {\delta}K(t)\,, e \frac{\dot{L}(t)}{L(t)}, \frac{\dot{A}(t)}{A(t)} são n e g, respectivamente, a equação é simplificada \dot{k}(t) = s\frac{Y(t)}{A(t)L(t)} - \delta\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - n\frac{K(t)}{A(t)L(t)} - g\frac{K(t)}{A(t)L(t)} = sy(t) - {\delta}k(t) - nk(t) - gk(t). Como mencionado acima, y(t) = k(t)^{\alpha}.

Referências

  1. ROMER, David. Advanced Macroeconomics. 1996. McGraw-Hill. ISBN 978-007-287-730-4 (em inglês)
  2. ELLERY Jr, Roberto, e GOMES, Victor. Modelo de Solow, Resíduo de Solow e Contabilidade do Crescimento. março de 2003. Disponível em:ligação externa. Acesso em 28 de janeiro de 2009. 21 páginas.
  3. D. SACHS, Jeffrey, e LARRAIN B., Felipe. macroeconomia - Edição revisada e atualizada. São Paulo: MAKRON Books, 2000. 848 páginas ISBN 8-534-61121-1
  4. Barelli, Paulo. (2003). "Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas". Economics Letters 81 (3): 361–363. DOI:10.1016/S0165-1765(03)00218-0.
  5. Litina, Anastasia. (2008). "Do Inada conditions imply that production function must be asymptotically Cobb–Douglas? A comment". Economics Letters 99 (3): 498–499. DOI:10.1016/j.econlet.2007.09.035.
  6. a b Romer, David. Advanced Macroeconomics. Fourth. ed. New York: McGraw-Hill, 2011. 6–48 pp. ISBN 978-0-07-351137-5.
  7. doi:10.1162/qjec.122.2.535
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  8. (1990) "Why doesn't Capital Flow from Rich to Poor Countries?". American Economic Review 80 (2): 92–96.
  9. doi:10.2307/2118477
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  10. Klenow, Peter J.; Rodriguez-Clare, Andres. NBER Macroeconomics Annual 1997, Volume 12. [S.l.]: National Bureau of Economic Research, January 1997. 73–114 pp. ISBN 0-262-02435-7.
  11. a b doi:10.1017/S1365100511000824
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Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Cram101 Textbook Reviews, e-Study Guide for: Advanced Macroeconomics by David Romer, ISBN 9780072877304: Economics, Macroeconomics and monetary economics , Cram101 Textbook Reviews, 2014 ISBN 1-467-23682-9 (em inglês)
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