Prova de que 22/7 é maior que π

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Prova de que 22/7 é maior que π
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A demonstração da famosa desigualdade \frac{22}{7}>\pi\, remonta à antiguidade. A versão apresentada neste verbete usa recursos modernos mas não vai além de conceitos básicos do cálculo. O objetivo desta apresentação não é convencer o leitor da desigualdade, dado que existem métodos sistemáticos de calcular o valor de pi com aproximação arbitrária. A elegância desta prova resulta da ligação com a teoria das aproximações diofantinas. Stephen Lucas afirmou ser esta demonstração "um dos maios belos resultados ligados à aproximação de π".[1] Julian Havil finaliza uma discussão sobre frações continuadas aproximantes de π com este teorema, afirmado ser "impossivel resistir a mencioná-lo" nesse contexto.[2]

Contexto[editar | editar código-fonte]

227 é uma aproximação diofantina de π amplamente usada. É um dos termos da fração continuada de π. É muito fácil verificar que \frac{22}{7}>\pi\, observando as expansões decimais:

\begin{align}
  \frac{22}{7} & \approx 3.14285714\dots \\
  \pi\,        & \approx 3.14159265\dots
\end{align}

Esta aproximação é conhecida desde a antiguidade, Arquimedes escreveu a primeira prova conhecida disto no século III a.C. A demonstração de Arquimedes consistia em mostrar que 22/7 é maior que a razão entre o perímetro de um polígono regular de 96 lados circunscrito em uma circunferência e o diâmetro da circunferência.

Ideia básica[editar | editar código-fonte]

A ideia básica desta demonstração consiste em mostrar as seguinte relações:

0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi.
Portanto 227 > π.

Detalhes[editar | editar código-fonte]

Positividade da integral

\begin{array}{rcl}
\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx&\geq& \int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{2}dx

= \frac{1}{2}\int_0^1\left(x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8\right)\\
&=&\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{4}{6}+\frac{6}{7}-\frac{4}{8}+\frac{1}{9}\right)\\
&=&\frac{1}{1260}>0
\end{array}
Valor exato da integral definida
\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx =\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx (expandindo termos no numerador)
=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx (efetuada a divisão polinomial)
=\left.\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\,\right|_0^1 (integração termo-a-termo)
=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\ (aplicação numérica)
=\frac{22}{7}-\pi. (simplificação)

Resultado refinado[editar | editar código-fonte]

Em 1944 Dalzell refinou este resultado usando as seguintes cotas para a integral:[3]

{1 \over 1260} < \int_0^1 {x^4 (1-x)^4 \over 1+x^2}\,dx < {1 \over 630}.

Então temos:

{22 \over 7} - {1 \over 630} < \pi < {22 \over 7} - {1 \over 1260}.

Este método permite de forma simples calcular o valor de π com três casas decimais, veja também.[4]

Referências

  1. Lucas, Stephen. "Integral proofs that 355/113 > π", Australian Mathematical Society Gazette, volume 32, número 4, pág. 263–266.
    Este artigo começa chamanda este proposição de "One of the more beautiful results related to approximating π."
  2. Havil, Julian. Gamma: Exploring Euler's Constant. [S.l.]: Princeton University Press, 2003. 96 pp. ISBN 0-691-09983-9.
  3. Dalzell, D. P. (1944). "On 22/7", Journal of the London Mathematical Society 19, pages 133–134.
  4. Dalzell, D. P. (1971). "On 22/7 and 355/113", Eureka; the Archimedeans' Journal, volume 34, pages 10–13.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]