Transformação de Lorentz

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Em física, as transformações de Lorentz, em homenagem ao físico neerlandês Hendrik Lorentz, descrevem como, de acordo com a relatividade especial, as medidas de espaço e tempo de dois observadores se alteram em cada sistema de referência. Elas refletem o fato de que observadores se movendo com velocidades diferentes medem diferentes valores de distância, tempo e, em alguns casos, a ordenação de eventos.

Matematicamente, o fator de Lorentz é determinado por:

\gamma = \frac{1}{ \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2} )}  }

A transformação de Lorentz foi originalmente o resultado da tentativa de Lorentz e outros cientistas, como Woldemar Voigt,[1] para explicar as propriedades observadas da luz propagando-se no que se presumia ser o éter luminífero; Albert Einstein posteriormente reinterpreta a transformação como sendo uma consequência da natureza do espaço e tempo. A transformação de Lorentz substitui a transformação de Galileu da física newtoniana, que assumia um espaço e tempo absoluto. De acordo com a relatividade especial, a transformação de Galileu é apenas uma boa aproximação para velocidades relativas muito menores que a velocidade da luz.

Transformação de Lorentz para referenciais na configuração padrão[editar | editar código-fonte]

As coordenadas do espaço-tempo de um evento, tal como medido por cada observador no seu referencial inercial (na configuração padrão) são mostrados nas bolhas. Parte superior : O quadro F' move com velocidade v ao longo do eixo x do quadro F. Parte Inferior: O quadro F' se move com velocidade -v ao longo do eixo x do quadro F'.[2]

Assuma que há dois observadores O e Q, cada qual usando seu próprio sistema de coordenadas cartesiano para medir os intervalos de espaço e tempo. O utiliza (t, x, y, z) e Q utiliza (t', x', y', z'). Suponha ainda que os sistemas de coordenadas são orientados de maneira que os eixos x e x' são colineares, os eixos y é paralelo ao eixo y' , assim como o eixo z ao z' . A velocidade relativa entre os dois observadores é v no sentido do eixo x. Assuma também que as origens de ambos sistemas de coordenadas são os mesmos. Se todas essas suposições são válidas, então os sistemas de coordenadas são ditos estarem na configuração padrão. Uma apresentação simétrica entre as transformadas direta em inversa de Lorentz podem ser obtidas se o sistema de coordenadas estão em configuração simétrica. A forma simétrica ressalta que todas as leis físicas devem ser de tal tipo que permanecem inalteradas sob uma transformação de Lorentz.

A transformação de Lorentz para sistemas de referências na configuração padrão pode ser apresentada como

\begin{cases}
t' &= \gamma \left( t - v x/c^{2} \right)  \\ 
x' &= \gamma \left( x - v t \right)\\
y' &= y \\ 
z' &= z
\end{cases}

onde \ \gamma =  \frac{1}{ \sqrt{1 - { \frac{v^2}{c^2}}}} é chamado fator de Lorentz.

Forma matricial[editar | editar código-fonte]

A transformação de Lorentz é dita um "boost" na direção x e é frequentemente expressa na forma matricial como


\begin{bmatrix}
c t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta \gamma&0&0\\
-\beta \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}\ .

Para o caso geral de um boost em uma direção arbitrária (\beta_{x}, \beta_{y}, \beta_{z}),


\begin{bmatrix}
c\,t' \\ x' \\ y' \\ z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\beta_x\,\gamma&-\beta_y\,\gamma&-\beta_z\,\gamma\\
-\beta_x\,\gamma&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{x}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{y}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{x}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_y\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{x}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{y}^{2}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{y}\beta_{z}}{\beta^{2}}\\
-\beta_z\,\gamma&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{x}}{\beta^{2}}&(\gamma-1)\frac{\beta_{z}\beta_{y}}{\beta^{2}}&1+(\gamma-1)\frac{\beta_{z}^{2}}{\beta^{2}}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c\,t \\ x \\ y \\ z
\end{bmatrix}\ ,

onde \beta = \frac{v}{c}=\frac{\|\vec{v}\|}{c} e \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}.

Motivação original[editar | editar código-fonte]

Desde Galileu e Newton se sabia que medidas laboratoriais de processos mecânicos nunca podiam mostrar diferenças entre um equipamento em repouso e um outro que estivesse em movimento com velocidade constante em linha recta: era o chamado princípio da relatividade. Mas nem todas as leis da física eram consideradas universais e independentes do observador: de acordo com a teoria electromagnética de Maxwell (refinada depois por Lorentz e outros) a luz não devia obedecer a este princípio da relatividade e devia mostrar o efeito do movimento. Michelson e Morley fizeram uma experiência, em 1887, em que tentaram detectar a diferença entre a velocidade da luz na direção do movimento da Terra (afetado pelo vento de éter resultante) com a velocidade da luz numa direção em ângulo recto com ela. Mas o valor da velocidade da luz não se parecia alterar quando se alterava a velocidade do seu emissor — o que estava em desacordo com os modelos da Física Clássica.

Em 1889, Fitzgerald, um irlandês, sugeriu que talvez fosse uma contração do próprio equipamento experimental, quando atravessava o éter, que fazia com que a mudança na velocidade da luz não fosse detectável, ou seja, sugeriu que os corpos se contraíam quando se moviam à velocidades perto da velocidade da luz. Independentemente, em 1895, Lorentz sugeriu uma hipótese do mesmo tipo, porém mais detalhada, em que, para assegurar a completa impossibilidade de detecção do éter, acrescentava a hipótese de haver uma mudança no «tempo local» marcado pelos relógios usados na experiência. As transformações de Lorentz, introduzidas por ele em 1904, descrevem esse efeito de diminuição do comprimento e dilatação do tempo para objetos que se movem a velocidades perto da velocidade da luz.

O descrédito das teorias do éter acabou por levar à aceitação da proposta de Albert Einstein de que as transformações de Lorentz não fossem entendidas como transformações de objetos físicos mas sim como transformações do espaço e do tempo em si. Na sua Teoria da Relatividade Restrita, propôs que a razão pela qual não se conseguiam detectar diferentes velocidades da luz era simplesmente porque a velocidade da luz é uma constante universal. E mostrou que isso tornava o princípio da relatividade compatível com a teoria electromagnética.


A necessidade de se modificar as equações da transformação de Galileu foi reconhecida ao se tentar usá-las nas equações de Maxwell. O raciocínio a seguir, atribuído a Einstein, ilustra intuitivamente a inconsistência.

Considere que seja possível a uma pessoa viajar à velocidade da luz. A luz, pelas equações de Maxwell, é uma oscilação dos campos elétricos E e magnéticos B, periódica no espaço e oscilante no tempo. No referencial desta pessoa, a luz seria uma perturbação do campo eletromagnético periódica no espaço e constante no tempo. Tal solução, no entanto, não existe como solução das equações de Maxwell que governam a propagação da Luz.

Portanto, restam duas alternativas:

  1. Modificar as equações Maxwell e manter a transformada de Galileu
  2. Ou modificar a transformada de Galileu

Não basta dizer que, já que as equações de Maxwell são confirmadas em laboratório, devemos modificar as transformadas de Galileu. Estas transformadas também são importantes pois são a base de toda a Mecânica Clássica, que portanto deveria ser revista.

Este impasse foi resolvido em 1905 por Albert Einstein. A sua interpretação das Transformadas de Lorentz permitiu manter as equações de Maxwell inalteradas, mas exigiu uma revisão completa dos conceitos de tempo e espaço tão caros e fundamentais à Mecânica Clássica.

A transformação de Lorentz[editar | editar código-fonte]

Para se chegar as equações da transformação de Lorentz basta analisar como as equações de Maxwell se comportam com relação a uma transformação geral de coordenadas. Mas para simplificar a matemática, utiliza-se no lugar das equações de Maxwell uma de suas soluções, isto é, a equação da onda no vácuo:

\frac{\partial^2\psi}{\partial^2 x} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\psi}{\partial^2 t} = 0

propagando-se na direção x com velocidade c.

Quer-se uma transformação linear de coordenadas x, t para um novo referencial, x', t' que se move com velocidade v:

\begin{align}x^\prime  &= \alpha x + \beta t \\ 
t^\prime &= \gamma x + \delta t \end{align}

O problema é encontrar \alpha, \beta, \gamma, \delta de forma a que a equação de onda acima continue sendo uma equação de onda no novo referencial. Substituindo na equação de onda e resolvendo a equação para (\alpha, \beta, \gamma, \delta) obtém-se:

\alpha^2 - \frac{\beta^2}{c^2} =1
 \frac{c^2 \gamma}{\beta} = 1
 \alpha = \delta

Substituindo na transformação linear original:

\begin{align}x^\prime &= \alpha \left( x + \frac{\beta}{\alpha} t \right) \\
t^\prime &=  \alpha \left( \frac{\beta}{c^2\alpha} x - t\right) \end{align}

Comparando com a transformada de Galileu:

x^\prime  = x - v \cdot t
t^\prime =  t

encontra-se:

\begin{align} \frac{\beta}{\alpha} &= -v  \\
\alpha &= \frac{1}{ \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2} )}  } \end{align}

substituindo na transformação linear inicial, encontra-se a transformada de Lorentz entre dois referenciais em movimento relativo com velocidade v:

x^\prime = \frac{1}{ \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2} )}  } ( x - v \cdot t ) = \gamma ( x - v \cdot t )
t^\prime = \frac{1}{ \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2} )}  } ( t - \frac{v}{c^2} x) = \gamma ( t - \frac{v}{c^2} x)

Onde:

\gamma = \frac{1}{ \sqrt{(1 - \frac{v^2}{c^2} )}  }

é chamado de fator de Lorentz.

Referências

  1. Ernst, A. och Hsu, J.-P.; First proposal of the universal speed of light by Voigt 1887 Chinese Journal of Physics (2001), pag 211-230 Vol 39-3; A tradução de Voigt (1887) em Inglês.
  2. University Physics – With Modern Physics (12th Edition), H.D. Young, R.A. Freedman (Original edition), Addison-Wesley (Pearson International), 1st Edition: 1949, 12th Edition: 2008, ISBN 0-321-50130-6, ISBN 978-0-321-50130-1 (em inglês)

Ver também[editar | editar código-fonte]

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. Einstein, Albert (1961), Relativity: The Special and the General Theory, New York: Three Rivers Press (published 1995), ISBN 0-517-88441-0 (em inglês)
  2. Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2004), Classical dynamics of particles and systems (5th ed.), Belmont, [CA.]: Brooks/Cole, pp. 546–579, ISBN 0-534-40896-6 (em inglês)


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