Vórtice de Burgers

Em dinâmica de fluidos, o vórtice de Burgers ou vórtice de Burgers–Rott é uma solução exata para as equações de Navier-Stokes governando fluxo viscoso, em homenagem a Jan Burgers e Nicholas Rott. O vórtice de Burgers descreve um fluxo estacionário auto-similar. Um fluxo radial para dentro tende a concentrar vorticidade em uma coluna estreita em torno do eixo de simetria, enquanto um alongamento axial faz com que a vorticidade aumente. Ao mesmo tempo, a difusão viscosa tende a espalhar a vorticidade. O vórtice de Burgers estacionário surge quando os três efeitos estão em equilíbrio.

O vórtice de Burgers, além de servir como uma ilustração do mecanismo de alongamento de vórtice, pode descrever fluxos como tornados, onde a vorticidade é fornecida pelo alongamento contínuo do vórtice acionado por convecção.

Campo de fluxo

Velocidade azimutal e componente $z$ de vorticidade em um vórtice de Burgers

O fluxo para o vórtice Burgers é descrito em coordenadas cilíndricas $(r,\theta ,z)$. Assumindo simetria axial (sem dependência $\theta$), o campo de fluxo associado ao fluxo do ponto de estagnação axissimétrico é considerado:

$v_{r}=-\alpha r,$

$v_{z}=2\alpha z,$

$v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}g(r),$

onde $\alpha >0$ (taxa de deformação) e $\Gamma >0$ (circulação) são constantes. O fluxo satisfaz a equação de continuidade pelas duas primeiras equações acima. A equação do momento azimutal das equações de Navier-Stokes então se reduz a

$r{\frac {d^{2}g}{dr^{2}}}+\left({\frac {\alpha r^{2}}{\nu }}-1\right){\frac {dg}{dr}}=0$

onde $\nu$ é a viscosidade cinemática do fluido. A equação é integrada com a condição $g(\infty )=1$ de modo que no infinito a solução se comporta como um vórtice potencial, mas em localização finita o fluxo é rotacional. A escolha $g(0)=0$ garante $v_{\theta }=0$ no eixo. A solução é

$g=1-\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).$

A equação de vorticidade fornece apenas um componente não trivial na direção $z$, dado por

$\omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right).$

Intuitivamente, o fluxo pode ser entendido observando os três termos na equação de vorticidade para $\omega _{z}$,

$-\alpha r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}=2\alpha \omega _{z}+{\frac {\nu }{r}}{\frac {d}{dr}}\left(r{\frac {d\omega _{z}}{dr}}\right).$

O primeiro termo do lado direito da equação acima corresponde ao alongamento do vórtice que intensifica a vorticidade do núcleo do vórtice devido ao componente da velocidade axial $v_{z}=2\alpha z$. A vorticidade intensificada tenta se difundir radialmente para fora devido ao segundo termo no lado direito, mas é impedida pela convecção de vorticidade radial devido a $v_{r}=-\alpha r$ que surge no lado esquerdo da equação acima. O equilíbrio tripartido estabelece uma solução estável. O vórtice de Burgers é uma solução estável das equações de Navier-Stokes.

A solução instável de Kambe

Em 1984, Tsutomu Kambe forneceu uma solução exata das equações de Navier Stokes dependentes do tempo para funções arbitrárias $\alpha =\alpha (t)$. Em particular, quando $\alpha$ é constante, o campo de vorticidade $\omega (r,t)$ com uma distribuição inicial arbitrária $\Omega (r)=\omega (r,0)$ é dado por

$\omega (r,t)={\frac {\alpha }{2\pi \nu (1-e^{-2\alpha t})}}\iint \Omega \left({\sqrt {\xi _{1}^{2}+\eta _{1}^{2}}}~\right)\exp \left[{\frac {-(x-\xi _{1}e^{-\alpha t})^{2}-(y-\eta _{1}e^{-\alpha t})^{2}}{(2\nu /\alpha )(1-e^{-2\alpha t})}}\right]\,d\xi _{1}d\eta _{1}.$

Como $t\rightarrow \infty$, o comportamento assintótico é dado por

$\omega (r,t)={\frac {\alpha }{2\pi \nu }}\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)\left[\Gamma +e^{-2\alpha t}\int _{0}^{\infty }\Omega (s)\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}-1\right)\left({\frac {\alpha s^{2}}{2\nu }}-1\right)2\pi s\,ds+O(e^{-4\alpha t})\right],\qquad \Gamma =\int _{0}^{\infty }\Omega (s)2\pi s\,ds$

Assim, dado que $\Gamma \neq 0$, uma distribuição de vorticidade arbitrária se aproxima do vórtice de Burgers. Se $\Gamma =0$, digamos que no caso em que a condição inicial é composta por dois vórtices iguais e opostos, então o primeiro termo é zero e o segundo termo implica que a vorticidade decai para zero conforme $t\rightarrow \infty .$.

Camada de vórtice de Burgers

Componente $y$ de velocidade e componente $z$ de vorticidade em uma camada de vórtice de Burgers

Camada (ou lâmina) de vórtice de Burgers é uma camada de cisalhamento tensa, que é um análogo bidimensional do vórtice de Burgers. Esta também é uma solução exata das equações de Navier-Stokes, descritas pela primeira vez por A. A. Townsend em 1951. O campo de velocidade $(v_{x},v_{y},v_{z})$ expresso nas coordenadas cartesianas são

$v_{x}=-\alpha x,$

$v_{z}=\alpha z,$

$v_{y}=U\operatorname {erf} \left({\frac {{\sqrt {\alpha }}x}{\sqrt {2\nu }}}\right),$

onde $\alpha >0$ é a taxa de deformação, $v_{y}(+\infty )=U$ e $v_{y}(-\infty )=-U$. O valort $2U$ é interpretado como a força da camada de vórtice. A equação de vorticidade fornece apenas um componente não trivial na direção $z$, dado por

$\omega _{z}={\frac {2U}{\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {\frac {\alpha }{\nu }}}\exp \left(-{\frac {\alpha x^{2}}{2\nu }}\right).$

A camada de vórtice de Burgers mostra-se instável a pequenas perturbações por K. N. Beronov e S. Kida passando assim por instabilidade Kelvin-Helmholtz inicialmente, seguida por segundas instabilidades e possivelmente fazendo a transição para vórtices de Kerr–Dold.

Vórtices de Burgers não axissimétricos

Vórtices de Burgers não axissimétricos emergem em fluxos tensos não axissimétricos. A teoria do vórtice de Burgers não axissimétrico para vórtices com pequenos números de Reynolds $Re=\Gamma /(2\pi \nu )$ foi desenvolvido por A. C. Robinson e Philip Saffman em 1984, enquanto Keith Moffatt, S. Kida e K. Ohkitani desenvolveu a teoria para $Re\gg 1$ em 1994. A estrutura de vórtices de Burgers não axissimétricos para valores arbitrários do número de Reynolds do vórtice pode ser discutido através de integrações numéricas. O campo de velocidade assume a forma

$v_{x}=-\alpha x+u(x,y),$

$v_{y}=-\beta y+v(x,y),$

$v_{z}=\gamma z$

submetido à condição $\gamma =\alpha +\beta$. Sem perda de generalidade, assume-se $\alpha >0$ e $\gamma >0$. A seção transversal do vórtice está no plano $xy$, fornecendo um componente de vorticidade diferente de zero na direção $z$

$\omega _{z}={\frac {\partial u}{\partial y}}-{\frac {\partial v}{\partial x}}.$

O vórtice axissimétrico de Burgers é recuperado quando $\alpha =\beta =\gamma /2$ enquanto a camada de vórtice de Burgers é recuperada quando $\alpha =\gamma$ e $\beta =0$.

Vórtices de Burgers em superfícies cilíndricas de estagnação

A solução explícita das equações de Navier-Stokes para o vórtice de Burgers em superfícies de estagnação cilíndricas esticadas foi resolvida por P. Rajamanickam e A. D. Weiss. A solução é expressa no sistema de coordenadas cilíndricas da seguinte forma

$v_{r}=-\alpha \left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right),$

$v_{z}=2\alpha z,$

$v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}P\left(1+{\frac {\alpha r_{s}^{2}}{2\nu }},{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right),$

onde $\alpha >0$ é a taxa de deformação, $r_{s}\geq 0$ é a localização radial da superfície de estagnação cilíndrica, $\Gamma >0$ é a circulação e $P$ é a função gama regularizada. Esta solução nada mais é do que o vórtice do Burgers na presença de um fonte de linhas com força da fonte $Q=2\pi \alpha r_{s}^{2}$. A equação de vorticidade fornece apenas um componente não trivial na direção $z$, dado por

$\omega _{z}={\frac {\alpha \Gamma }{2\pi \nu {\tilde {\Gamma }}(1+\alpha r_{s}^{2}/2\nu )}}\left({\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)^{\alpha r_{s}^{2}/2\nu }\exp \left(-{\frac {\alpha r^{2}}{2\nu }}\right)$

onde ${\tilde {\Gamma }}$ na expressão acima é a função gama. Como $r_{s}\rightarrow 0$, a solução se reduz à solução de vórtice de Burgers e como $r_{s}\rightarrow \infty$, a solução se torna a solução da camada de vórtice de Burgers. Também existe uma solução explícita para o vórtice Sullivan em superfície de estagnação cilíndrica.

Vórtice de Sullivan

Em 1959, Roger D. Sullivan estendeu a solução do vórtice de Burgers por considerar a solução da forma

$v_{r}=-\alpha r+{\frac {1}{r}}f(\eta ),$

$v_{z}=2\alpha z\left[1-{\frac {f'(\eta )}{2\nu }}\right],$

$v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}{\frac {g(\eta )}{g(\infty )}},$

onde $\eta =\alpha r^{2}/(2\nu )$. As funções $f(\eta )$ e $g(\eta )$ são dadas por

$f(\eta )=6\nu (1-e^{-\eta }),$

$g(\eta )={\frac {\nu }{\alpha }}\int _{0}^{\eta }t^{3}\exp \left[-t-\operatorname {Ei} (-t)\right]\,\mathrm {d} t$

onde $\operatorname {Ei}$ é a integral exponencial e $g(\infty )=6.1714469\dots$. Para o vórtice de Burgers $v_{r}<0$, $v_{\theta }>0$ e $v_{z}/z>0$são sempre positivas. O resultado de Sullivan mostra que $v_{r}>0$ para $\eta \leq 2.821$ e $v_{z}/z<0$ para $\eta \leq 1.099$. Assim, o vórtice de Sullivan se assemelha ao vórtice de Burgers para $\eta >2.821$, mas desenvolve uma estrutura de duas células perto do eixo devido à mudança de sinal de $v_{z}/z$.

Vórtice de Sullivan em superfícies de estagnação cilíndricas

O vórtice de Sullivan em superfícies de estagnação cilíndricas tem os seguintes componentes de velocidade:

$v_{r}=-\alpha \left(r-{\frac {r_{s}^{2}}{r}}\right)+{\frac {1}{r}}f(\eta ),$

$v_{z}=2\alpha z\left[1-{\frac {f'(\eta )}{2\nu }}\right],$

$v_{\theta }={\frac {\Gamma }{2\pi r}}{\frac {g(\eta )}{g(\infty )}},$

onde $\eta =\alpha r^{2}/(2\nu )$,

$f(\eta )=2\nu (3-\eta _{s})(1-e^{-\eta }),$

$g(\eta )={\frac {\nu }{\alpha }}\int _{0}^{\eta }t^{3}\exp \left[-t+(\eta _{s}-3)\operatorname {Ei} (-t)\right]\,\mathrm {d} t.$

Observe que a localização da superfície cilíndrica de estagnação não é mais dada por $r=r_{s}$(ou equivalentemente $\eta =\eta _{s}$), mas é dado por

$\eta _{\operatorname {stag} }=3+W_{0}[e^{-3}(\eta _{s}-3)]$

onde $W_{0}$ é o principal ramo da função W de Lambert. Por isso, $r_{s}$ aqui deve ser interpretado como a medida da força volumétrica da fonte $Q=2\pi \alpha r_{s}^{2}$ e não a localização da superfície de estagnação.

Ver também

• Vórtice de Kerr–Dold