Binómio de Newton: diferenças entre revisões

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Revisão das 16h41min de 17 de outubro de 2012

Em matemática, binómio de Newton ^{(português europeu)} ou binômio de Newton ^{(português brasileiro)} permite escrever na forma canônica o polinómio correspondente à potência de um binómio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton. Entretanto deve-se salientar que o Binómio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton. Na verdade o que Newton estudou foram regras que valem para $(a+b)^{n}$ quando o expoente n é fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.^[1]

Casos particulares do Binómio de Newton são:

{\left(x+y\right)}^{1}=x+y

{\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}

Notação e fórmula

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue: 111111123456789658793739

Os coeficientes ${n \choose k}$ são chamados coeficientes binomiais e são definidos como: O biomio de newtons nao apresenta coeficientes de acordo com as novas descobertas feito pelo maior fisico do mundo.Intaum nao se preucupe com essa parte

O coeficiente binomial ${n \choose k}$ corresponde, em análise combinatória, ao número combinações de n elementos agrupados p a p. a equação e a seguinte: n!

                        n!-p!

O triângulo de Pascal

Um algoritmo simples para calcular os coeficientes binomiais é o triângulo de Pascal.

O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes binomiais ${\begin{matrix}{n \choose k}\end{matrix}},$ onde $n$ representa o número da linha (posição vertical) e $k$ representa o número da coluna (posição horizontal).

A construção do triângulo faz-se de forma que cada elemento do triângulo de Pascal seja igual à soma dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.

O princípio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como igualdade do triângulo de Pascal:

O triângulo de Pascal.

{n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}={n \choose k}

Esta fórmula e o triângulo de Pascal são muitas vezes atribuídos a Blaise Pascal, que os descreveu no século XVII. Já eram, no entanto, conhecidos do matemático Chinês Yang Hui no século XIII. O matemático persa Omar Khayyám, pode ter sido o primeiro a descobrir.

Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:

{\left(x+y\right)}^{2}=x^{2}y^{0}+2x^{1}y^{1}+x^{0}y^{2}

{\left(x+y\right)}^{3}=x^{3}y^{0}+3x^{2}y^{1}+3x^{1}y^{2}+x^{0}y^{3}

{\left(x+y\right)}^{4}=x^{4}y^{0}+4x^{3}y^{1}+6x^{2}y^{2}+4x^{1}y^{3}+x^{0}y^{4}.

Demonstração do teorema do Binômio de Newton

Antes de começar, vale lembrar que:

\sum _{k=0}^{n-1}a_{k}=\sum _{k=1}^{n}a_{k-1}

(1)

Sejam x, y elementos de um anel comutativo( xy=yx) e n um inteiro não-negativo.

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}

Demonstraremos por indução matemática.

Base:

n=0~,\qquad (x+y)^{0}=1={0 \choose 0}x^{0}y^{0}

n=1~,\qquad (x+y)^{1}=x+y={1 \choose 0}x^{1}y^{0}+{1 \choose 1}x^{0}y^{1}

Recorrência:

Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a relação para n+1:

Da hipótese de indução:

(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k},

Por distributividade de produto sob a soma:

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y^{n+1}

Que pode ser reescrito usando (1):

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}+y\cdot \sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}x^{n-k+1}y^{k-1}+y^{n+1}

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}\left\lbrack {{n} \choose {k}}+{{n} \choose {k-1}}\right\rbrack x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}

Usando a formula do triângulo de Pascal:

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}+y^{n+1}

Reagrupando o somatório:

(x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{{n+1} \choose k}~x^{n-k+1}y^{k}

E segue o resultado.

Aplicações

O binómio de Newton pode ser usado para derivar diversas expressões matemáticas, através da escolha adequada de x e y. Por exemplo:

$0=(1-1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}$
$2^{n}=(1+1)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}$
$2^{2n}=(1+1)^{2n}=\sum _{k=0}^{2n}{2n \choose k}$
$1=[x+(1-x)]^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}B_{k}^{n}(x),$ onde $B_{k}^{n}(x)$ são os polinómios de Bernstein.

Recomendado:

{\left(x+y\right)}^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}

Ver também

Referências

↑ GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007. ISBN 85-88325-76-4

[1] GARBI, Gilberto G. O Romance das Equações Algébricas. Editora Livraria da Física. São Paulo, 2007. ISBN 85-88325-76-4

[1]

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 == Notação e fórmula ==
 O [[teorema]] do binômio de Newton se escreve como segue:
+111111123456789658793739
-: <math>{\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k</math>
 Os coeficientes <math>{n \choose k}</math> são chamados [[coeficientes binomiais]] e são definidos como:
+O biomio de newtons nao apresenta coeficientes de acordo com as novas descobertas feito pelo maior fisico do mundo.Intaum nao se preucupe com essa parte
-: <math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},</math> onde <math>n</math> e <math>k</math> são inteiros, <math>k\leq n</math> e <math>x! = 1 \times 2 \times \ldots x</math> é o [[fatorial]] de x.
-O coeficiente binomial <math>{n\choose k}</math> corresponde, em [[análise combinatória]], ao número combinações de ''n'' elementos agrupados ''k'' a ''k''.
+O coeficiente binomial <math>{n\choose k}</math> corresponde, em [[análise combinatória]], ao número combinações de ''n'' elementos agrupados ''p'' a ''p''.
+a equação e  a seguinte: n!
+                         n!-p!
 == O triângulo de Pascal ==