Polinómios de Bernstein

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Em matemática, um polinômio de Bernstein é um polinômio da forma:

O conjunto forma uma base para os polinômios de grau até n. Isto é, se é um polinômio de grau menor ou igual a n, então pode ser escrito na forma:

Estes polinômios foram estudados por Sergei Natanovich Bernstein e utilizados para dar uma prova construtiva do teorema de Stone-Weierstrass.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Gráfico dos polinômios de Berstein de grau 3

No caso dos polinômios de grau a base é composta de:

Todo polinômio de grau 3 pode ser escrito nesta base como:

Propriedades fundamentais[editar | editar código-fonte]

Estes polinômios possuem propriedades importantes:

,
  • Não-negatividade no intervalo de 0 a 1:
,
  • Relação de recorrência:
.
  • Simetria:
  • Produto:
  • Derivada:
ficando bem convencionado que
  • Representação em grau superior:
assume valor máximo no intervalo em . Este máximo é local se .

A segunda destas propriedades é óbvia. Para demonstrar a primeira, escreva:

A terceira pode ser provada simplesmente substituindo a definição e simplificando os binômios usando a fórmula do triângulo de Pascal. As demais também são mostradas por simples verificação.

Representação de [editar | editar código-fonte]

Para obter uma representação de como polinômio de Bernstein, escreva:

Agora diferencie em relação a e multiplique por u/n para obter:

se fizermos e , temos:

Se tivéssemos diferenciado duas vezes em relação a u, teríamos tido:

e teríamos obtido:

Ou ainda, poderiamos expandir o argumento de forma a obter para :

Polinômio de Bernstein associado a uma função[editar | editar código-fonte]

Seja , o polinômio de Bernstein de grau n associado a é dado por:

[1]

Se for uma função contínua, então converge uniformemente para quando n tende a infinito. Este fato é provado em teorema de Stone-Weierstrass.


Veja também[editar | editar código-fonte]

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  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 2016-03-24.