Campo de Jacobi

Na geometria de Riemann, um campo de Jacobi é um campo vetorial ao longo de uma geodésica $\gamma$ em uma variedade Riemanniana descrevendo a diferença entre a geodésica e uma geodésica "infinitesimamente próxima". Em outras palavras, os campos de Jacobi ao longo de uma geodésica formam o espaço tangente à geodésica no espaço de todas as geodésicas. Estes campos são nomeados em homenagem a Carl Jacobi.

Solução da equação de Jacobi

Deixe $e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|$ e conclua isso para obter uma base ortonormal ${\big \{}e_{i}(0){\big \}}$ em $T_{\gamma (0)}M$. Transporte em paralelo para encontrar a base $\{e_{i}(t)\}$ ao longo de $\gamma$. Isto dá uma base ortonormal com $e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|$.

O campo Jacobi pode ser escrito em coordenadas em termos dessa base como $J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)$ e assim

${\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t),$

e a equação de Jacobi pode ser reescrita como um sistema

${\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0$ para cada $k$.

Desta forma, obtemos uma equação diferencial linear ordinária (ODE). Como esse ODE possui coeficientes uniformes, temos que existem soluções para todos $t$ e são únicas, dado $y^{k}(0)$ e ${y^{k}}'(0)$, para todo $k$..