Número perfeito

Em Matemática, um número perfeito é um número inteiro para o qual a soma de todos os seus divisores positivos próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número.

Por exemplo, o número 6 é um número perfeito, pois:

$\,\!6=1+2+3$

O próximo número perfeito é o 28, pois:

$\,\!28=1+2+4+7+14$

Os quatro primeiros números perfeitos (6, 28, 496 e 8.128) eram os únicos conhecidos pelos gregos antigos desde pelo menos Euclides. No século XV acrescentou-se 33.550.336 à lista.

Conjunto dos números perfeitos

O conjunto dos números perfeitos é (sequência A000396 na OEIS)

$\,\!\left\{6;28;496;8.128;33.550.336;8.589.869.056;...\right\}$

Números perfeitos pares

Euclides descobriu que os quatro primeiros números perfeitos são gerados pela fórmula: 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1):

para n = 2:   2¹(2² − 1) = 6

para n = 3:   2²(2³ − 1) = 28

para n = 5:   2⁴(2⁵ − 1) = 496

para n = 7:   2⁶(2⁷ − 1) = 8.128

Notando que 2ⁿ − 1 é um número primo em cada uma destas instâncias, Euclides provou que a fórmula 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) dá um número perfeito par sempre que 2ⁿ − 1 é primo (Euclides, Prop. IX.36).

Os matemáticos da Antiguidade fizeram várias afirmações sobre os números perfeitos baseados nos quatro que conheciam, mas a maior parte delas vieram a provar-se serem falsas. Uma dessas afirmações era que como 2, 3, 5, e 7 são precisamente os quatro primeiros primos, o quinto número perfeito seria obtido com n = 11, que é o quinto primo. Todavia, 2¹¹ − 1 = 2.047 = 23 × 89 não é primo e daí n = 11 não gera um número perfeito. Duas outras falsas afirmações são:

• O quinto número perfeito teria cinco algarismos pois os primeiros quatro têm, respectivamente, 1, 2, 3, e 4 algarismos.
• Os números perfeitos alternam 6 e 8 no último algarismo.

O quinto número perfeito ($33.550.336=2^{12}(2^{13}-1)$) tem 8 algarismos, contrariando a primeira afirmação. Como termina em 6, a segunda afirmação parecia não ser falsa. Todavia, o sexto número perfeito (8 589 869 056) também termina em 6. É fácil provar que o último algarismo de um número perfeito par é sempre 6 ou 8.

Para que $2^{n}-1$ seja primo, é necessário mas não suficiente que $n$ seja primo. Os primos da forma 2ⁿ − 1 são conhecidos como primos de Mersenne, em honra do monge e matemático Marin Mersenne, que os estudou em 1.644 junto com a teoria dos números e as propriedades dos números perfeitos.

Um milénio depois de Euclides, Ibn al-Haytham (Alhazen) por volta do ano 1.000 percebeu que todo o número perfeito par é da forma 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) onde 2ⁿ − 1 é um número primo, Mas não conseguiu provar o resultado. Só no século XVIII Leonhard Euler provou que a fórmula 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) daria todos os números perfeitos pares. Portanto, todo o primo de Mersenne gera um diferente número perfeito par, numa correspondência unívoca entre ambos os conjuntos. Este resultado é muitas vezes referido como o "teorema de Euclides-Euler". À data de Setembro de 2009 eram conhecidos 47 primos de Mersenne o que significa que há 47 números perfeitos pares conhecidos, sendo o maior 2^43.112.608 × (2^43.112.609 − 1), um enorme número com 25.956.377 algarismos.

Os primeiros 39 números perfeitos pares são da forma 2ⁿ⁻¹(2ⁿ − 1) para

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 (seqüência A000043 na OEIS).

Os outros oito conhecidos são para n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 e 43112609. Não se sabe se há outros algures neste intervalo.

Números perfeitos ímpares

Não se conhecem actualmente números perfeitos ímpares e conjectura-se, com fortes indícios experimentais, que não existe nenhum. Em 2004 foi submetido ao Arxiv um artigo pelo matemático australiano Simon Davis contendo a demonstração desta conjectura, que não foi no entanto ainda publicado.

Ligações externas

• «Determinación geométrica de los números primos y perfectos»