Radiciação

Parte da série sobre
Matemática
História
Áreas Teoria dos números Geometria Álgebra Cálculo e Análise Matemática discreta Lógica matemática e Teoria dos conjuntos Probabilidade Estatística e Teoria da decisão Relação com as ciências Física Química Computação Biologia Linguística Economia Filosofia Educação
Portal da Matemática

A radiciação é uma operação matemática inversa à potenciação, assim como a divisão é o inverso da multiplicação.

Para um número real $a$, a expressão ${\sqrt[{n}]{a}}$ representa o único número real x que verifica $x^{n}=a,$ e tem o mesmo sinal que a (quando existe). Quando n é omisso, significa que $n=2$ e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada. A $x$ chama-se a raiz, a $n$ índice, a $a$ radicando e a ${\sqrt {\,\,\,}}$ radical. Quando $n=3$, dizemos que se trata da raiz cúbica.

A raiz quadrada leva este nome pois para um quadrado de área $a$ o lado deste quadrado medirá ${\sqrt {a}}$. É fácil verificar para $a=100$, quando percebemos que o lado desde quadrado deve ser $10$. O mesmo raciocínio se estivéssemos tratando de $n=3$.

Um erro comum é achar que a raiz par de um número, em especial a raiz quadrada, deve ser "mais ou menos" $a$. Isso advém do fato que os estudantes quando aprendem a resolver equações quadráticas como $x^{2}=4$ acham que isso é equivalente a tirar a raiz: não é. De fato, existem dois valores $\pm 2$ que satisfazem $x^{2}=4$. No entanto, existe apenas uma resposta para ${\sqrt {4}}$ que é $2$. Se trata de uma convenção matemática a ideia de que a radiciação de índice par de um número positivo será o número positivo que elevado a este expoente resulta no radicando.

Temos uma colocação de algarismos na Raiz Quadrada. EX: ${\sqrt {9}}$ (esse número se chama radical que vem da potência $3^{2},$ também conhecida como 3 ao quadrado. Quem vem a ser 3 x 3, não 3 x 2).

História

A origem do símbolo √ usado para representar uma raiz é bastante especulativo. Algumas fontes dizem que o símbolo foi usado pela primeira vez pelos árabes, e o primeiro uso foi de Al-Qalasadi (1421-1486), e que o símbolo vem da letra árabe ج, a primeira letra da palavra "Jadhir".

Muitos, incluindo Leonard Euler, acreditam que o símbolo origina-se da letra r, que é a primeira letra da palavra Radix Quadratium equalis que em latim se refere à mesma operação matemática. O símbolo foi visto pela primeira vez impresso sem o vínculo (a linha horizontal que fica sobre os números dentro da raiz) em 1525 no Die Coss do matemático alemão Christoff Rudolff.

Exemplos

• ${\sqrt {9}}={\sqrt[{2}]{3}}^{2}=3$
• ${\sqrt[{3}]{1}}=1$

Propriedades

Para a e b positivos tem-se:

• ${\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}},$
• ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}},$
• ${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},$
• ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{a}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{a}}$
• $({\sqrt[{n}]{a}})^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
• $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$
• $a^{-{\frac {m}{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{a^{m}}}}$
• ${\sqrt[{n}]{a^{n}}}=a$
• ${\sqrt[{2}]{a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt[{2}]{(a+{\sqrt {a^{2}-b}})/2}}\pm {\sqrt[{2}]{(a-{\sqrt {a^{2}-b}})/2}}$

Racionalização

Quando o denominador de uma fração envolve radicais, o processo pelo qual se transforma essa fração neutra cujo denominador não tem radicais chama-se racionalização de fração.

Exemplos:

$${\frac {a}{\sqrt {b}}}={\frac {a{\sqrt {b}}}{b}}$$

$${\frac {1}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{({\sqrt {a}}+{\sqrt {b}})({\sqrt {a}}-{\sqrt {b}})}}={\frac {{\sqrt {a}}-{\sqrt {b}}}{a-b}}$$

Algoritmo de extração de raiz quadrada

Segue abaixo uma animação que demonstra um algoritmo de extração da raiz quadrada.

Ver também

• Raiz quadrada
• Logaritmo
• Exponenciação