Fórmulas de Viète

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Em matemática, as fórmulas de Viète são fórmulas que relacionam os coeficientes de um polinômio a somas e produtos de suas raízes. Esta denominação deve-se a François Viète, e são usadas especialmente em álgebra.

Leis[editar | editar código-fonte]

Fórmulas básicas[editar | editar código-fonte]

Um polinômio geral qualquer de grau n

(sendo os coeficientes números reais ou complexos e an ≠ 0) tem, conforme estabelece o teorema fundamental da álgebra, n raízes complexas (não necessariamente distintas) x1x2, ..., xn. As fórmulas de Vieta relacionam os coeficientes do polinômio { ak } com somas e produtos (positivos ou negativos) de suas raízes { xi } como segue:

Estabelecido de forma equivalente, o (n − k)-ésimo coeficiente ank é relacionado à soma acrescida de sinal de todos os possíveis subprodutos de raízes, tomando k por exemplo:

para k = 1, 2, ..., n (onde os índices ik são expressos em ordem crescente, a fim de garantir que cada subproduto de raízes seja considerado apenas uma vez).

Generalização para anéis[editar | editar código-fonte]

As fórmulas de Viète são frequentemente usadas com polinômios com coeficientes em um domínio de integridade R. Neste caso os quocientes pertencem ao anel de frações de R (ou em R mesmo se é inversível em R) e as raízes são tomadas em um corpo algebricamente fechado. Tipicamente, R é o anel dos inteiros, o campo das frações é o campo dos números racionais e o campo algebricamente fechado é o campo dos números complexos.

As fórmulas de Viète são fudamentais nestas situações, porque fornecem relações entre as raízes sem a necessidade de as determinar.

Para polinômios sobre um anel comutativo que não é um domínio de integridade, as fórmulas de Viète são válidas somente quando é um zero não-divisor e é fatorado como . Por exemplo, no anel dos inteiros módulo 8, o polinômio tem quatro raízes: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète não são válidas se, por exemplo, e , porque . Contudo, fatora como e como , e as fórmulas de Viète são válidas se fixamos e ou e .

Exemplos gerais[editar | editar código-fonte]

Fórmulas de Viète aplicadas a polinômios quadráticos e cúbicos:

Para polinômios de segundo grau , as raízes da equação satisfazem

A primeira destas equações pode ser usada para encontrar o mínimo (ou máximo) de P.

Para o polinômio cúbico , as raízes da equação satisfazem

Prova[editar | editar código-fonte]

As fórmulas de Viète podem ser provadas por expansão da igualdade

que é verificada como válida sendo todas raízes deste polinômio, expandindo esta expressão e identificando os coeficientes de cada potência de

Formalmente, expandindo os termos são exatamente onde é 0 ou 1, sendo incluído no produto ou não, e k é o número de que são excluídos, sendo o número total de fatores no produto n (contando com multiplicidade k) – havendo n escolhas binárias (inclusive ou x), há termos – geometricamente, estes podem ser entendidos como os vértices de um hipercubo. Agrupando estes termos por grau é obtido o polinômio simétrico elementar em – para xk, todos os distintos k-ésimos produtos de

Ver também[editar | editar código-fonte]

References[editar | editar código-fonte]

  • Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004, ISBN 0-387-24299-6, Springer, New York, NY 

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