Regra de 72

Em finanças, a regra dos 72, a regra dos 70 e a regra dos 69,3 são métodos para estimar o tempo de duplicação de um investimento . O número da regra (por exemplo, 72) é dividido pela porcentagem de juros por período (geralmente anos) para obter o número aproximado de períodos necessários para duplicação. Embora calculadoras científicas e programas de planilha tenham funções para encontrar o tempo de duplicação preciso, as regras são úteis para cálculos mentais e quando apenas uma calculadora básica estiver disponível.

Estas regras aplicam-se ao crescimento exponencial e, portanto, são utilizadas para juros compostos em oposição aos cálculos de juros simples . Eles também podem ser usados para decaimento para obter um tempo de redução pela metade. A escolha do número é principalmente uma questão de preferência: 69 é mais preciso para composição contínua, enquanto 72 funciona bem em situações de interesse comum e é mais facilmente divisível. Existem várias variações nas regras que melhoram a precisão. Para capitalização periódica, o tempo exato de duplicação para uma taxa de juros de r por cento por período é

$t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}}$ ,

onde t é o número de períodos necessários. A fórmula acima pode ser usada para mais do que calcular o tempo de duplicação. Se quisermos saber o tempo de triplicação, por exemplo, substitua a constante 2 no numerador por 3. Como outro exemplo, se quisermos saber quantos períodos são necessários para o valor inicial aumentar 50%, substitua a constante 2 por 1,5.

Usando a regra para estimar períodos compostos

Para estimar o número de períodos necessários para duplicar um investimento original, divida a “quantidade-regra” mais conveniente pela taxa de crescimento esperada, expressa em percentagem.

• Por exemplo, se você investisse $ 100 com juros compostos a uma taxa de 9% ao ano, a regra de 72 dá 72/9 = 8 anos necessários para que o investimento valha $ 200; um cálculo exato dá ln(2) /ln(1+0,09) = 8,0432 anos.

Da mesma forma, para determinar o tempo que leva para o valor do dinheiro cair pela metade a uma determinada taxa, divida a quantidade regra por essa taxa.

• Para determinar o tempo necessário para que o poder de compra do dinheiro caia pela metade, os financiadores dividem a quantidade regra pela taxa de inflação . Assim, com uma inflação de 3,5%, usando a regra dos 70, deveria levar aproximadamente 70/3,5 = 20 anos para que o valor de uma unidade monetária caísse pela metade.
• Para estimar o impacto das taxas adicionais nas políticas financeiras (por exemplo, taxas e despesas de fundos mútuos, encargos de carregamento e despesas em carteiras variáveis de investimento em seguro de vida universal ), divida 72 pela taxa. Por exemplo, se a apólice da Universal Life cobrar uma taxa anual de 3% acima do custo do fundo de investimento subjacente, então o valor total da conta será reduzido para 50% em 72/3 = 24 anos, e depois para 25% de o valor em 48 anos, em comparação com manter exatamente o mesmo investimento fora da apólice.

Escolha da regra

O valor 72 é uma escolha conveniente de numerador, pois possui muitos divisores pequenos: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 e 12. Fornece uma boa aproximação para capitalização anual e para capitalização a taxas típicas (de 6% a 10%); as aproximações são menos precisas a taxas de juro mais elevadas.

Para composição contínua, 69 fornece resultados precisos para qualquer taxa, uma vez que ln (2) é cerca de 69,3%; veja derivação abaixo. Como a composição diária é próxima o suficiente da composição contínua, para a maioria das finalidades 69, 69,3 ou 70 são melhores do que 72 para a composição diária. Para taxas anuais mais baixas do que as acima, 69,3 também seria mais preciso do que 72. Para taxas anuais mais elevadas, 78 é mais preciso.

Graphs comparing doubling times and half lives of exponential growths (bold lines) and decay (faint lines), and their 70/t and 72/t approximations. In the SVG version, hover over a graph to highlight it and its complement.

Rate	Actual Years	Rate × Actual Years	Rule of 72	Rule of 70	Rule of 69.3	72 adjusted	E-M rule
0.25%	277.605	69.401	288.000	280.000	277.200	277.667	277.547
0.5%	138.976	69.488	144.000	140.000	138.600	139.000	138.947
1%	69.661	69.661	72.000	70.000	69.300	69.667	69.648
2%	35.003	70.006	36.000	35.000	34.650	35.000	35.000
3%	23.450	70.349	24.000	23.333	23.100	23.444	23.452
4%	17.673	70.692	18.000	17.500	17.325	17.667	17.679
5%	14.207	71.033	14.400	14.000	13.860	14.200	14.215
6%	11.896	71.374	12.000	11.667	11.550	11.889	11.907
7%	10.245	71.713	10.286	10.000	9.900	10.238	10.259
8%	9.006	72.052	9.000	8.750	8.663	9.000	9.023
9%	8.043	72.389	8.000	7.778	7.700	8.037	8.062
10%	7.273	72.725	7.200	7.000	6.930	7.267	7.295
11%	6.642	73.061	6.545	6.364	6.300	6.636	6.667
12%	6.116	73.395	6.000	5.833	5.775	6.111	6.144
15%	4.959	74.392	4.800	4.667	4.620	4.956	4.995
18%	4.188	75.381	4.000	3.889	3.850	4.185	4.231
20%	3.802	76.036	3.600	3.500	3.465	3.800	3.850
25%	3.106	77.657	2.880	2.800	2.772	3.107	3.168
30%	2.642	79.258	2.400	2.333	2.310	2.644	2.718
40%	2.060	82.402	1.800	1.750	1.733	2.067	2.166
50%	1.710	85.476	1.440	1.400	1.386	1.720	1.848
60%	1.475	88.486	1.200	1.167	1.155	1.489	1.650
70%	1.306	91.439	1.029	1.000	0.990	1.324	1.523

Nota: O valor mais preciso em cada linha está em itálico e o mais preciso das regras mais simples está em negrito.

Uma referência antiga à regra está na Summa de arithmetica (Veneza, 1494. Fol. 181, n. 44) de Luca Pacioli (1445–1514). Ele apresenta a regra em uma discussão sobre a estimativa do tempo de duplicação de um investimento, mas não deriva ou explica a regra, e portanto assume-se que a regra antecede Pacioli em algum tempo.

“ A voler sapere ogni quantità a tanto per 100 l'anno, in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e capitale, tieni per regola 72, a mente, il quale sempre partirai per l'interesse, e quello che ne viene, in tanti anni sarà raddoppiato. Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 l'anno, dico che si parta 72 per 6; ne vien 12, e in 12 anni sarà raddoppiato il capitale. (emphasis added). ”

Traduzido aproximadamente:

“ Se você quiser saber cada quantidade de 100 por ano, em quantos anos terá duplicado o retorno entre lucro e capital, tenha 72 como regra, que você sempre deixará pelos juros, e o que vier disso será duplicado em muitos anos. Exemplo: Quando os juros são 6 por 100 vezes por ano, digo que começamos em 72 vezes 6; Virão 12 e em 12 anos o capital será duplicado. (grifo nosso). ”

Ajustes para maior precisão

Para taxas mais elevadas, um numerador maior seria melhor (por exemplo, para 20%, usar 76 para obter 3,8 anos seria apenas cerca de 0,002 de desconto, enquanto usar 72 para obter 3,6 seria cerca de 0,2 de desconto). Isto porque, como acima, a regra dos 72 é apenas uma aproximação precisa para taxas de juros de 6% a 10%.

Por cada três pontos percentuais acima dos 8%, o valor de 72 poderia ser ajustado em 1:

$t\approx {\frac {72+(r-8)/3}{r}}$

ou, para o mesmo resultado:

$t\approx {\frac {70+(r-2)/3}{r}}$

Ambas as equações simplificam para:

$t\approx {\frac {208}{3r}}+{\frac {1}{3}}$

Observe que ${\frac {208}{3}}$ está bem próximo de 69,3.

Regra E-M

A regra de segunda ordem de Eckart-McHale (a regra E-M) fornece uma correção multiplicativa para a regra de 69,3 que é muito precisa para taxas de 0% a 20%, enquanto a regra normalmente só é precisa na extremidade mais baixa das taxas de juros, de 0% a cerca de 5%.

Para calcular a aproximação E-M, multiplique o resultado da regra de 69,3 por 200/(200− r ) da seguinte forma:

$t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {200}{200-r}}$ .

Por exemplo, se a taxa de juro for de 18%, a regra de 69,3 dá t = 3,85 anos, que a regra E-M multiplica por ${\frac {200}{182}}$ (ou seja, 200/(200−18)) para dar um tempo de duplicação de 4,23 anos. Como o tempo real de duplicação a esta taxa é de 4,19 anos, a regra E-M dá assim uma aproximação mais próxima do que a regra dos 72.

Para obter uma correção semelhante para a regra de 70 ou 72, um dos numeradores pode ser definido e o outro ajustado para manter o produto aproximadamente o mesmo. A regra E-M poderia, portanto, ser escrita também como

$t\approx {\frac {70}{r}}\times {\frac {198}{200-r}}$ ou $t\approx {\frac {72}{r}}\times {\frac {192}{200-r}}$

Nestas variantes, a correção multiplicativa torna-se 1 respectivamente para r=2 e r=8, valores para os quais as regras de 70 e 72 são mais precisas.

Aproximante de Padé

O aproximante de Padé de terceira ordem fornece uma resposta mais precisa em um intervalo ainda maior de r, mas tem uma fórmula um pouco mais complicada:

$t\approx {\frac {69.3}{r}}\times {\frac {4r+600}{r+600}}$

o que simplifica para:

$t\approx {\frac {1386r+207900}{5r^{2}+3000r}}$

Derivação

Capitalização periódica

Para capitalização periódica, o valor futuro é dado por:

$FV=PV\cdot (1+r)^{t}$

onde $PV$ é o valor presente, $t$ é o número de períodos de tempo e $r$ representa a taxa de juros por período de tempo.

O valor futuro é o dobro do valor presente quando:

$FV=PV\cdot 2$

que é a seguinte condição:

$(1+r)^{t}=2\,$

Esta equação é facilmente resolvida para $t$ :

${\begin{array}{ccc}\ln((1+r)^{t})&=&\ln 2\\t\ln(1+r)&=&\ln 2\\t&=&{\frac {\ln 2}{\ln(1+r)}}\end{array}}$

Um rearranjo simples mostra:

${\frac {\ln {2}}{\ln {(1+r)}}}={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {r}{\ln(1+r)}}{\bigg )}$

Se r for pequeno, então ln(1 + r ) é aproximadamente igual a r (este é o primeiro termo da série de Taylor ). Ou seja, este último fator cresce lentamente quando $r$ está próximo de zero.

Chame este último fator $f(r)={\frac {r}{\ln(1+r)}}$ . A função $f(r)$ mostra-se preciso na aproximação de $t$ para uma taxa de juros pequena e positiva quando $r=.08$ (veja derivação abaixo). $f(.08)\approx 1.03949$ , e portanto aproximamos o tempo $t$ como:

$t={\bigg (}{\frac {\ln 2}{r}}{\bigg )}f(.08)\approx {\frac {.72}{r}}$

Escrito como uma porcentagem:

${\frac {.72}{r}}={\frac {72}{100r}}$

Esta aproximação aumenta em precisão à medida que a composição dos juros se torna contínua (ver derivação abaixo). $100r$ é $r$ escrito como uma porcentagem .

Para derivar os ajustes mais precisos apresentados acima, note-se que $\ln(1+r)\,$ é mais aproximado por $r-{\frac {r^{2}}{2}}$ (usando o segundo termo da série de Taylor). ${\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}$ pode então ser ainda mais simplificado por aproximações de Taylor:

${\begin{array}{ccc}{\frac {0.693}{r-r^{2}/2}}&=&{\frac {69.3}{R-R^{2}/200}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}{\frac {1}{1-R/200}}\\&&\\&\approx &{\frac {69.3(1+R/200)}{R}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}+{\frac {69.3}{200}}\\&&\\&=&{\frac {69.3}{R}}+0.3465\end{array}}$

Substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 7,79 dá 72 no numerador. Isto mostra que a regra dos 72 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 8%. Da mesma forma, substituir o “ R ” em R /200 na terceira linha por 2,02 resulta em 70 no numerador, mostrando que a regra de 70 é mais precisa para juros compostos periodicamente em torno de 2%.

Alternativamente, a regra E-M é obtida se a aproximação de Taylor de segunda ordem for usada diretamente.

Capitalização contínua

Para capitalização contínua, a derivação é mais simples e produz uma regra mais precisa:

${\begin{array}{ccc}(e^{r})^{p}&=&2\\e^{rp}&=&2\\\ln e^{rp}&=&\ln 2\\rp&=&\ln 2\\p&=&{\frac {\ln 2}{r}}\\&&\\p&\approx &{\frac {0.693147}{r}}\end{array}}$

Ver também

• Crescimento exponencial
• Interesse
• Desconto
• Regra dos 16

Ligações externas

• The Scales Of 70– estende a regra dos 72 para além do crescimento de taxa fixa, para o crescimento composto de taxa variável, incluindo taxas positivas e negativas.