Porcentagem

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%

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A percentagem ou porcentagem (do latim per centum, significando "por cento", "a cada centena") é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação entre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o inteiro) a partir de uma fração cujo denominador é 100 (cem), ou seja, é dividir um número por 100 (cem). Muito utilizada no mercado financeiro, seja na hora de obter um desconto, calcular o lucro na venda de um produto ou medir as taxas de juros. É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades


Um pouco de História[editar | editar código-fonte]

Relatos históricos datam que o surgimento dos cálculos percentuais da forma que conhecemos hoje aconteceu por volta do século I a.C., na cidade de Roma, embora os juros e os impostos existam desde a época dos primeiros registros de civilizações na Terra. Nesse período, o imperador romano decretou inúmeros impostos a serem cobrados, de acordo com a mercadoria negociada. Um dos impostos criados pelos chefes romanos era denominado centésimo rerum venalium, e obrigava o comerciante a pagar um centésimo pela venda das mercadorias no mercado. Os cálculos eram feitos sem a utilização do símbolo de porcentagem, eram realizados de forma simples, com a utilização de frações centesimais. Por exemplo, na cobrança de um imposto no valor de 11/100 da comercialização, eles cobravam onze centésimos do preço do produto, isto é, dividiam o produto em cem partes iguais e pegavam onze partes, basicamente o que é feito hoje sem a utilização de calculadoras.

Significado[editar | editar código-fonte]

Dizer que algo (chamaremos de blusas) é "70%" de uma loja (lê-se: "as blusas são setenta por cento de uma loja"), significa dizer que blusas é equivalente a 70 elementos em um conjunto universo de 100 elementos (representando lojas, que pode ter qualquer valor), ou seja, que a razão é a divisão:

\frac{70}{100}=0,7 para 1.

Ou seja, a 0,7ª parte de 1, onde esse 1 representando o valor inteiro da fração, no caso, "loja".

Em determinados casos, o valor máximo de uma percentagem é obrigatoriamente de 100%, tal qual ocorre na umidade relativa do ar. Em outros, contudo, o valor pode ultrapassar essa marca, como quando se refere a uma fração maior que o valor (500% de x é igual a 5 vezes x).

Símbolo[editar | editar código-fonte]

Muitos acreditam que o símbolo "%" teria evoluído a partir da expressão matemática \frac x {100}.

Porém, alguns documentos altamente antigos sugerem que o % evoluiu a partir da escrita da expressão latina "per centum", sendo conhecido em seu formato atual desde meados do século XVII. Apesar do nome latino, a criação do conceito de representar valores em relação a uma centena é atribuída aos gregos.

Segundo o historiador David Eugene Smith, o símbolo seria originalmente escrito "per 100" ou "per c". Smith estudou um manuscrito anónimo de 1425, contendo um círculo por cima do "c". Com o tempo a palavra "per" acabaria por desaparecer e o "c" teria evoluído para um segundo círculo.

Ponto percentual[editar | editar código-fonte]

Percentage chalkboard.JPG

Ponto percentual é o nome da unidade na qual pode ser expressa o valor absoluto da diferença entre quaisquer pares de porcentagens.

Por exemplo: se uma determinada taxa de juros cair de 24% ao ano para 12% ao ano, pode-se dizer que houve redução de 50% {[(valor inicial)-(valor final)]/(valor inicial)}, mas não que houve redução de 12%. Dizer que houve uma redução de 12% implica que o valor final seja de 12% menor que o valor inicial, no nosso exemplo, a taxa final seria 21,12% ao invés de 12%.

O Ponto Percentual é uma unidade que pode expressar essa diferença, voltando ao nosso exemplo, é correto dizer que houve redução de 12 pontos percentuais na tal taxa de juros.

Como calcular porcentagens[editar | editar código-fonte]

Existem muitas formas de se calcular porcentagem. Podemos utilizar Regra de 3 ou multiplicando. Por exemplo:

Qual é o valor de 25% de 50?

100% representa o total, ou seja, 50. E 25% representa X. Fazendo a regra de três, temos:

50/100 = X/25

50 . 25 = 100X

1250 = 100X

X = 1250/100

X = 12,5

Portanto, 25% de 50 é 12,5.

Variação Percentual[editar | editar código-fonte]

Em regra geral, Conhecido o preço inicial de um produto ou serviço, que sofreu alteração, em um período de tempo, gerando um novo valor . A variação percentual se dará pela razão entre o aumento (ou desconto), isto é a diferença entre os dois valores, e o preço inicial do produto ou serviço, expressa na forma de porcentagem.

Por exemplo: Suponha que, no início da semana, o preço de um determinado produto seja R$ V0 e, no final da semana o preço tenha aumentado para R$ Vf, O aumento de preço foi de R$ ( Vf- V0 ); a razão entre o aumento e o preço inicial, expressa na forma de porcentagem e indicada por Δi (variação percentual) será:

Δi = (vf - v0) / v0 Note que a expressão acima pode ser reescrita da forma Δi = ( Vf / V 0) - 1.

Quando a variação percentual é positiva, denomina-se taxa percentual de crescimento, e, quando é negativa, seu valor absoluto é denominada taxa percentual de decrescimento ( desde que Vf > 0 e V0 > 0).

Variações Percentuais Sucessivas[editar | editar código-fonte]

As variações Percentuais sucessivas acontecem quando o valor de um determinado produto (ou serviço) sofre durante um período de tempos, sucessivas alterações. Tais movimentações podem resultar na valorização quando acontecem aumentos ou desvalorização, quando acontecem descontos.

Por exemplo: O preço de uma Residência era de R$ 500.000,00 que chamaremos de V . Um ano depois, o preço teve um aumento de 15% resultando em um valor de V1 , após mais um ano, teve um decréscimo de 10% ficando agora com o valor V2 . Observe que cada Δij, com j=0,1,2,... É resultado das variações sofridas no seu período de tempo, isto é Δi1=15% que significa ( V1 / V0 ) - 1 e Δi2=10% que representa ( V2 / V1 ) - 1.

Variações Percentuais Acumuladas[editar | editar código-fonte]

Para determinar a variação percentual acumulada de um determinado produto (ou serviço) em um período de tempo, é necessário conhecer o valor inicial (V0 ) e final (Vf ) deste produto (ou serviço) neste período de tempo, ou conhecer as variações percentuais sofridas durante o tal período, isto é Δi1 Δi2, Δi3,...,Δin , para n variações dentro do período.

Para o primeiro caso citado teremos a expressão.

Δiacumulado = ( Vf / V0 ) -1,

Para o segundo caso, a expressão pode ser deduzida da seguinte forma:

Δi1 = ( V 1 / V 0) - 1 → V1 = V0 ( 1+Δi1 )

Δi2 ( V2 / V1 ) - 1 → V2 = V1 ( 1+Δi2 ) → V0 ( 1+Δi1 ) ( 1+Δi2 )

Δi3 ( V 3/ V 2) - 1 → V3 = V2 ( 1+Δi3 ) → V0 ( 1+Δi1 ) ( 1+Δi2 ) ( 1+Δi3 )

Assim, concluímos que:

Vn = V0 ( 1+Δi1 ) ( 1+Δi2 ) ( 1+Δi3 ) ... ( 1+Δin )

Substituindo o numerador, temos:

Δiacumulado = ( Vf / V0 ) - 1 → {[V0 ( 1+Δi1 ) ( 1+Δi2 ) ( 1+Δi3 ) ... ( 1+Δin )] / V0 } - 1

Δiacumulado = ( 1+Δi1 ) ( 1+Δi2 ) ( 1+Δi3 ) ... ( 1+Δin ) - 1


Ligações externas[editar | editar código-fonte]

[1] [2] [3] </ref>

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  1. IEZZI,Gelson, HAZZAN, Samuel, DEGENSZAJN, David. Fundamentos de Matemática Elementar. 1ª ed. São Paulo. Atual Editora. 2006
  2. LIMA,Elon Lages, CARVALHO,Paulo Cezar Pinto, WAGNER, Eduardo, MORGADO, Augusto César. A Matemática do Ensino Médio volume 2. 5ª ed. Rio de Janeiro. SBM. 2004
  3. www.somatematica.com