Variedade algébrica

Uma variedade algébrica é o conjunto de zeros de uma família de polinômios, e constitui o objeto principal de estudo da geometria algébrica. Pelo conceito de variedade algébrica é possível constituir uma relação entre a álgebra e a geometria, que permite se reformular problemas geométricos em termos algébricos, e vice-versa. Tal relação é baseada principalmente no fato que um polinômio complexo em uma variável é completamente determinado em seus zeros: o teorema dos zeros de Hilbert permite de fato estabelecer-se uma correspondência entre variedade algébrica e ideal de anéis de polinômios.

Definição

Se $K$ um corpo algebricamente fechado, $K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ o anel de polinômios em $K$ com $n$ variáveis, e $\{f_{i}\}_{i=1,2,\ldots ,n}$ uma família de polinômios do anel. O subconjunto de $K^{n}$ formado dos pontos que anulam todos os polinômios de $\{f_{i}\}_{i=1,2,\ldots ,n}$ é uma variedade algébrica:

$$V=\{(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\mid f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\,\forall i=1,2,\ldots ,n\}\subseteq K^{n}.$$

Variedades afins

Ver artigo principal: Variedade afim

Dado o corpo algebricamente fechado $K$ e um espaço afim $\mathbb {A} ^{n}$ de dimensão $n$ sobre $K,$ os polinômios do anel $K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]$ são funções a valores em $K$ definidas sobre $\mathbb {A} ^{n}.$

Tomada uma família de polinômios $S\subseteq K[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}],$ o conjunto dos pontos de $\mathbb {A} ^{n}$ pelos quais as funções de $S$ são todas nulas:

$$Z(S)=\{x\in \mathbb {A} ^{n}\mid f(x)=0\,\forall f\in S\}$$

é dito conjunto algébrico afim. Se $Z(S)$ não pode ser escrito como união própria de dois conjuntos algébricos semelhantes, é dita variedade afim.

Propriedades

• Sobre as variedades afins é possível definir uma topologia natural definindo como conjuntos fechados todos os conjuntos algébricos (topologia de Zariski).
• Dado $V\subseteq \mathbb {A} ^{n},$ $I(V)$ é o ideal formato de todas as funções que se anulam sobre $V:$

$$I(V)=\{f\in K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]\mid f(x)=0\,\forall x\in V\}.$$

Se define anel da coordenadas $K[V]$ de $V$ o anel quociente ${\frac {K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]}{I(V)}}.$ O grau de transcendência do campo das frações de $K[V]$ sobre $K$ é dito dimensão de $V.$

• Um conjunto algébrico afim $V$ é uma variedade se e somente se $I(V)$ é um ideal primo, ou se e somente se o anel das coordenadas de $V$ é um domínio de integridade.
• Todo conjunto algébrico afim pode ser escrito de maneira única como união de variedades algébricas.

Variedade projetiva

Ver artigo principal: Variedade projetiva

É possível modificar ligeiramente a definição de variedade afim para estendê-la ao caso de um espaço projetivo $\mathbb {P} ^{n}$ sobre o corpo $K:$ neste caso considera-se um conjunto $S\subseteq K[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}],$ formado de polinômios homogêneos (ou dos quais os monômios têm mesmo todos os grau). Com as mesmas notações obtêm-se então as definições do conjunto algébrico projetivo, variedade projetiva, topologia de Zariski e anel das coordenadas de uma variedade.

Isomorfismos de variedades algébricas

Um isomorfismo entre duas variedades algébricas $V_{1}$ e $V_{2}$ é um morfismo de variedade algébrica que é também uma correspondência biunívoca:

$$\phi \colon V_{1}\to V_{2}.$$

$V_{1}$ e $V_{2}$ são ditas isomorfas e se escreve $V_{1}\cong V_{2}.$

O isomorfismo entre variedades algébricas é uma relação de equivalência: toda a variedade algébrica isomorfa entre elas pode considerar-se como substancialmente equivalentes e são agrupadas numa única classe de equivalência dita variedade algébrica abstrata.