Volume de uma n-bola

 Nota: Se procura uma hipersuperfície do espaço euclideano $\mathbb {R} ^{n+1}\$, veja N-esfera.

Na geometria, uma bola é uma região no espaço que consiste de todos os pontos dentro de uma distância fixa a partir de um ponto fixo. Uma n-bola é uma bola em espaço euclidiano n-dimensional. O volume de uma n-bola é uma constante importante que ocorre em fórmulas na matemática .

Definição

Uma bola n-dimensional (ou n-bola) é a região delimitada por uma esfera-$(n-1)$: o conjunto de pontos em $\mathbb {R} ^{n}\$ satisfazendo $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq R^{2}$. É possível definir "volume" em $\mathbb {R} ^{n}$ -- em $\mathbb {R}$ é o comprimento, em $\mathbb {R} ^{2}$ é a área, em $\mathbb {R} ^{3}$ é o volume normal e em $\mathbb {R} ^{n}$ é o hipervolume.

Tabela de volumes e raios

Os volumes e raios da n-bola nas primeiras 15 dimensões são dadas na tabela a seguir.

Dimensão	Volume de uma n-bola de raio R	Raio de uma n-bola de volume V
0	$1$	(all 0-balls have volume 1)
1	$2R$	${\frac {V}{2}}=0.5\times V$
2	$\pi R^{2}\approx 3.142\times R^{2}$	${\frac {V^{\frac {1}{2}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.564\times V^{\frac {1}{2}}$
3	${\frac {4\pi }{3}}R^{3}\approx 4.189\times R^{3}$	$\left({\frac {3V}{4\pi }}\right)^{\frac {1}{3}}\approx 0.620\times V^{\frac {1}{3}}$
4	${\frac {\pi ^{2}}{2}}R^{4}\approx 4.935\times R^{4}$	${\frac {(2V)^{\frac {1}{4}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.671\times V^{\frac {1}{4}}$
5	${\frac {8\pi ^{2}}{15}}R^{5}\approx 5.264\times R^{5}$	$\left({\frac {15V}{8\pi ^{2}}}\right)^{\frac {1}{5}}\approx 0.717\times V^{\frac {1}{5}}$
6	${\frac {\pi ^{3}}{6}}R^{6}\approx 5.168\times R^{6}$	${\frac {(6V)^{\frac {1}{6}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.761\times V^{\frac {1}{6}}$
7	${\frac {16\pi ^{3}}{105}}R^{7}\approx 4.725\times R^{7}$	$\left({\frac {105V}{16\pi ^{3}}}\right)^{\frac {1}{7}}\approx 0.801\times V^{\frac {1}{7}}$
8	${\frac {\pi ^{4}}{24}}R^{8}\approx 4.059\times R^{8}$	${\frac {(24V)^{\frac {1}{8}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.839\times V^{\frac {1}{8}}$
9	${\frac {32\pi ^{4}}{945}}R^{9}\approx 3.299\times R^{9}$	$\left({\frac {945V}{32\pi ^{4}}}\right)^{\frac {1}{9}}\approx 0.876\times V^{\frac {1}{9}}$
10	${\frac {\pi ^{5}}{120}}R^{10}\approx 2.550\times R^{10}$	${\frac {(120V)^{\frac {1}{10}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.911\times V^{\frac {1}{10}}$
11	${\frac {64\pi ^{5}}{10395}}R^{11}\approx 1.884\times R^{11}$	$\left({\frac {10395V}{64\pi ^{5}}}\right)^{\frac {1}{11}}\approx 0.944\times V^{\frac {1}{11}}$
12	${\frac {\pi ^{6}}{720}}R^{12}\approx 1.335\times R^{12}$	${\frac {(720V)^{\frac {1}{12}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 0.976\times V^{\frac {1}{12}}$
13	${\frac {128\pi ^{6}}{135135}}R^{13}\approx 0.911\times R^{13}$	$\left({\frac {135135V}{128\pi ^{6}}}\right)^{\frac {1}{13}}\approx 1.007\times V^{\frac {1}{13}}$
14	${\frac {\pi ^{7}}{5040}}R^{14}\approx 0.599\times R^{14}$	${\frac {(5040V)^{\frac {1}{14}}}{\sqrt {\pi }}}\approx 1.037\times V^{\frac {1}{14}}$
15	${\frac {256\pi ^{7}}{2027025}}R^{15}\approx 0.381\times R^{15}$	$\left({\frac {2027025V}{256\pi ^{7}}}\right)^{\frac {1}{15}}\approx 1.066\times V^{\frac {1}{15}}$
n	Vn(R)	Rn(V)