Discriminante fundamental: diferenças entre revisões
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Revisão das 16h49min de 19 de março de 2021
Em matemática, um discriminante fundamental D é um invariante inteiro na teoria das formas quadráticas binárias integrais. Se Q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 for uma forma quadrática com coeficientes inteiros, então D = b2 − 4ac é o discriminante de Q (x, y). Por outro lado, todo inteiro D com D ≡ 0, 1 (mod 4) é o discriminante de alguma forma quadrática binária com coeficientes inteiros. Sendo assim, todos esses inteiros são referidos como discriminantes na teoria.
Existem condições de congruência explícitas que fornecem o conjunto de discriminantes fundamentais. Especificamente, D é um discriminante fundamental se, e somente se, uma das seguintes afirmações for verdadeira
- D ≡ 1 (mod 4) e livre de quadrados ,
- D = 4m, em que m ≡ 2 ou 3 (mod 4) e m é livre de quadrados.
Os primeiros dez discriminantes fundamentais positivos são:
Os primeiros dez discriminantes fundamentais negativos são:
Conexão com corpos quadráticos
Há uma conexão entre a teoria das formas quadráticas binárias integrais e a aritmética dos corpos de números quadráticos . Uma propriedade básica desta conexão é que D 0 é um discriminante fundamental se, e somente se, D 0 = 1 ou D 0 é o discriminante de um campo de número quadrático. Há exatamente um corpo quadrático para cada discriminante fundamental D 0 ≠ 1, a menos de isomorfismo.
Esta é a razão pela qual alguns autores consideram 1 não ser um discriminante fundamental. Pode-se interpretar D 0 = 1 como o corpo "quadrático" degenerado Q (os números racionais).
Fatoração
Os discriminantes fundamentais também podem ser caracterizados por sua fatoração em potências de primos positivas e negativas. Defina o conjunto
formado por -8, -4, 8 e números primos ímpares, os primos ímpares ≡ 1 (mod 4) são positivos e os ≡ 3 (mod 4) são negativos. Então, um número D 0 ≠ 1 é um discriminante fundamental se, e somente se, for o produto de fatores coprimos entre si de S.
Referências
- Henri Cohen (1993). A Course in Computational Algebraic Number Theory. Col: Graduate Texts in Mathematics. 138. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-55640-0. MR 1228206
- Duncan Buell (1989). Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97037-1
- Don Zagier (1981). Zetafunktionen und quadratische Körper. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10603-6