Constantes trigonométricas exatas

Os ângulos que apresentam soluções primárias no círculo unitário estão em múltiplos de 30 e 45 graus.

Expressões algébricas exatas para valores trigonométricos são algumas vezes úteis, principalmente por simplificar soluções em formas de raízes que permitem uma maior simplificação.

Todos os valores dos senos, cossenos e tangentes de ângulos em incrementos de 3° são deriváveis em radiciações usando-se identidades — a identidade de meio ângulo, a identidade de dobro de ângulo e a identidade de adição e subtração de ângulos — e usando-se valores para 0°, 30°, 36° e 45°. Note-se que 1° = π/180 radianos.

De acordo com o teorema de Niven, os únicos valores racionais da função seno para o qual o argumento é um número racional de graus são  0, 1/2,  1, -1/2, e -1.

Número de Fermat

A lista neste artigo é incompleta em pelo menos dois sentidos. Primeiro, sempre é possível aplicar a fórmula ao semi-ângulo para encontrar uma expressão exata para o cosseno de uma metade de qualquer ângulo na lista, e em seguida, a metade desse ângulo, etc. Em segundo lugar, este artigo explora apenas o primeiro dois dos cinco números primos de Fermat conhecidos: 3 e 5, enquanto também existem expressões algébricas para as funções de 2π/17, 2π/257 e 2π/65537. Na prática, todos os valores de senos, cossenos e tangentes não encontradas neste artigo são aproximadas utilizando as técnicas descritas no artigo tabelas trigonométricas.

Referências

• Weisstein, Eric W. «Constructible polygon» (em inglês). MathWorld 
• Weisstein, Eric W. «Trigonometry angles» (em inglês). MathWorld 
  • π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
  • π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
  • π/5 (36°) — π/10 (18°) — π/20 (9°)
  • π/7 — π/14
  • π/9 (20°) — π/18 (10°)
  • π/11
  • π/13
  • π/15 (12°) — π/30 (6°)
  • π/17
  • π/19
  • π/23
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