Desigualdade de Weyl

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Em álgebra linear, Desigualdade de Weyl é um teorema sobre como os autovalores de um matriz Hermitiana são perturbados. Esse teorema de 1912 carrega o nome de seu autor Hermann Weyl. Esse resultado é útil se quisermos saber os autovalores da matriz Hermitiana H, mas há uma incerteza sobre as entradas de H.[1] Este resultado era conhecido no Século 19, mas não foi publicado na íntegra [2]

Seja H a matriz exata e P ser uma matriz de perturbação que representa a incerteza. Considere a matriz \scriptstyle M \,=\, H \,+\, P. Seja M com autovalores \mu_1 \ge \cdots \ge \mu_n\, , H com autovalores \nu_1 \ge \cdots \ge \nu_n\, e P com autovalores \rho_1 \ge \cdots \ge \rho_n\,

O teorema afirma que se M, H e P são todas matrizes Hermitianas n por n, então a seguinte desigualdade vale para \scriptstyle i \,=\, 1,\dots ,n:

\nu_i + \rho_n \le \mu_i \le \nu_i + \rho_1.\,

Se P é positiva definida (e.g. \scriptstyle\rho_n \,>\, 0) então isso implica que

\mu_i > \nu_i \quad   \forall i = 1,\dots,n.\,

Note que podemos ordenar os autovalores porque as matrizes são Hermitiana e, portanto, os autovalores são reais.

Ver Também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Helmut Wielandt, Bertram Huppert & Hans Schneider: Mathematische Werke: Linear algebra and analysis, Walter de Gruyter, 1996, ISBN 9783110124538 S.166
  2. Beresford Parlett: The symmetric eigenvalue problem. SIAM 1980, 1998, ISBN 0-13-880047-2, Kapitel 10-3, S.208