Forma canónica

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No campo da matemática, a forma canónica refere-se de forma geral à forma normal e clássica de representar uma dada relação.

Dizemos que uma equação diferencial parcial está na forma canônica quando ela está escrita na sua forma mais simples, ou seja, sem os termos de derivadas mistas. A ideia básica está em classificar e equação diferencial parcial quanto ao tipo, determinar as equações características e pelo processo de integração encontrar as curvas características, onde as constantes serão as coordenadas características. Utilizando a regra da cadeia para derivadas parciais determinamos as derivadas para as novas variáveis e fazendo a substituição na equação original chega-se, assim a forma canônica.


Forma Canônica para Equações Diferenciais Parciais[editar | editar código-fonte]

Suponhamos que as funções A, \ B \ \textrm{e}\ C não são nulas. Então podemos escolher novas variáveis \xi \ \textrm{e}\ \eta de modo que os coeficiente \bar{A} \ \textrm{e}\ \bar{B} sejam nulos. Para isso devemos ter

\bar{A} = A\left(\frac{\partial \xi}{\partial x}\right)^{2} + B\frac{\partial \xi\partial \xi}{\partial x \partial y} + C\left(\frac{\partial \xi}{\partial  y}\right)^{2} \equiv 0;

\bar{C} = A\left(\frac{\partial \eta}{\partial x }\right)^{2} + B \frac{\partial \eta \partial \eta}{\partial x\partial y } + C\left(\frac{\partial \eta}{\partial y }\right)^{2} \equiv 0

Notamos que as duas equações tem a mesma forma. Então, discutiremos a equação

 A\left(\frac{\partial \psi}{\partial x}\right)^{2} + B\frac{\partial \psi\partial \psi}{\partial x \partial y} + C\left(\frac{\partial \psi}{\partial  y}\right)^{2} = 0,

onde \psi representa ora, \xi, ora \eta . Podemos ainda escrever a equação anterior na seguinte forma

A\left( \frac{\partial \psi/\partial x}{\partial  \psi/\partial y}\right)^{2} +  \frac{\partial \psi/\partial x}{\partial  \psi/\partial y} + C = 0.

Ao longo de uma curva  \psi = \ \textrm{constante} no plano (x,y) temos

d\psi = \frac{\partial \psi}{\partial x}dx + \frac{\partial \psi}{\partial y}dy = 0,

de onde obtemos

\frac{{\partial \psi}/{\partial x}}{\partial \psi/{\partial y}} = -\frac{dy}{dx},

com a qual nossa equação para \psi toma a forma

A\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - B \left(\frac{dy}{dx}\right) + C = 0

As raízes desta equação de segundo grau são

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2A}(B + \sqrt{\Delta})

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2A}(B - \sqrt{\Delta}),

onde \Delta = B^{2} - 4AC.

As duas equações de primeira ordem são chamadas equações características e as respectivas integrais são chamadas curvas características. Visto que tais equações são de primeira ordem elas admitem uma constante de integração cada uma. Devemos notar ainda que se os coeficientes A, \ B \ \textrm{ e }\ C são constantes as equações características levam a duas famílias de retas, e a equação é do mesmo tipo em todos os pontos de seu domínio, uma vez que \Delta também será constante.

Equação do tipo hiperbólico[editar | editar código-fonte]

Se \Delta > 0 temos duas famílias distintas de curvas características e a equação diferencial original se reduz a

\frac{\partial^{2}u}{\partial\xi\partial\eta} = H_{1}\left(\xi, \eta, u, \frac{\partial u}{\partial\xi}, \frac{\partial u}{\partial\eta} \right)

onde  H_{1} = \bar{H}/\bar{B}, \ \textrm{ com}\ \bar{B} \neq 0. Esta é a chamada primeira forma canônica da equação hiperbólica. Ao introduzirmos um segundo par de variáveis independentes

\alpha = \xi + \eta; \quad  \beta = \xi - \eta

obtemos a segunda forma canônica

\frac{\partial^{2}u}{\partial\alpha^{2}} - \frac{\partial^{2}u}{\partial\beta^{2}} = H_{2}\left(\alpha, \beta, u, \frac{\partial u}{\partial\alpha}, \frac{\partial u}{\partial\beta} \right)

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Reduza a forma canônica seguinte EDP

 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} -x^{2}\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}, \ \textrm{com}\ u \equiv u(x,y).

Solução

(i) classicação: identificando os coeficiente A,\ B\ \textrm{e}\ C e calculando \Delta temos: A = y^{2},\ B = 0\ \textrm{e}\ C = -x^{2} \Rightarrow \Delta = B^{2} - 4\cdot A\cdot C = -4\cdot y^{2}\cdot(-x^{2}) = 4y^{2}x^{2}.

Equação do tipo parabólico[editar | editar código-fonte]

Se o discriminante \Delta = 0 as equações características são idênticas. Neste caso só existe uma família de curvas características, de onde obtemos somente uma curva integral \xi = \textrm{constante} (\textrm{ou}\ \eta = \textrm{constante} ). Logo a forma canônica para a equação do tipo parabólico e dada por.

 \frac{\partial^{2}u}{\partial\eta^{2}} = H_{3}\left(\xi, \eta, u, \frac{\partial u}{\partial\xi}, \frac{\partial u}{\partial\eta} \right)\ \textrm{ para }\ \bar{C} \neq 0 \ \ \textrm{ e }\ \ \xi = \textrm{constante},  

Ou

  \frac{\partial^{2}u}{\partial\xi^{2}} = \bar{H_{3}}\left(\xi, \eta, u, \frac{\partial u}{\partial\xi}, \frac{\partial u}{\partial\eta} \right) \ \textrm{ para }\ \bar{A} \neq 0 \ \ \textrm{ e }\ \ \eta = \textrm{constante}. 

Equação do tipo elíptico[editar | editar código-fonte]

Neste caso \Delta < 0, e as curvas características não são reais. Entretanto, se os coeficientes A,\ B \ \textrm{ e }\ C são funções analíticas podemos considerar a equação

A\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} - B\left(\frac{dy}{dx}\right) + C = 0,

para os complexos x\ \textrm{ e }\ y. Desde que \xi\ \textrm{ e }\ \eta são complexos conjugados, podemos introduzir as variáveis reais

\alpha =\frac{\xi + \eta}{2} \quad \textrm{ e }\quad \beta=\frac{\xi- \eta}{2i},

Depois de todas as transformações obtemos:

\frac{\partial^{2} u}{\partial \alpha^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial \beta^{2}} = H_{0}\left(\alpha,\beta,u,\frac{\partial u}{\partial \alpha},\frac{\partial^{2} u}{\partial \beta}\right), \ \textrm{ com }\ u \equiv u(\alpha,\beta),

que é chamada forma canônica da equação elíptica.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Referências

  • Álgebra linear como introdução a matemática aplicada - Luis T. Magalhães
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