Método de Wiener–Hopf

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O Método de Wiener–Hopf é uma técnica amplamente utilizada em matemática aplicada. Foi desenvolvido inicialmente por Norbert Wiener e Eberhard Hopf como um método para resolver sistemas de equações integrais, porém foi aplicado com sucesso para resolver equações diferenciais parciais bidimensionais com condições de contorno mistas sobre o mesmo contorno. Em geral, o método explora as propriedades de funções complexas mediante transformação. A transformação típica utilizada é a transformada de Fourier, porém outras transformações já foram empregadas, como a transformada de Mellin.

Em geral, o problema de valores sobre o contorno é transformado, e o sistema resultante é usado para definir um par de funções complexas (tipicamente denotado com subscritos '+' e '-'), que são respectivamente analíticas nas metades superior e inferior do plano complexo, com crescimento não mais rápido que polinômios nestas regiões. Estas duas funções funções coincidem em alguma região do plano comlexo, tipicamente uma tira estreita contendo o eixo real. A extensão analítica garante que estas duas funções definem uma função analítica simples em todo o plano complexo, e o Teorema de Liouville implica que esta função é um polinômio incógnito, que é normalmente zero ou constante. A análise das condições nas bordas e vértices possibilita determinar o grau deste polinômio.

Decomposição de Wiener–Hopf[editar | editar código-fonte]

O ponto crucial em muitos problemas de Wiener-Hopf é decompor uma função arbitrária \Phi em duas funções \Phi_{\pm} com as propriedades acima delineadas. Em geral, isto pode ser feito escrevendo

\Phi_+(\alpha) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C_1} \Phi(z) \frac{dz}{z-\alpha}

e

\Phi_-(\alpha) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{C_2} \Phi(z) \frac{dz}{z-\alpha},

onde os contornos C_1 e C_2 são paralelos ao eixo real, mas passam acima e abaixo do ponto z=\alpha, respectivamente.

Similarmente, funções escalares arbitrárias podem ser decompostas em um produto de funções +/-, isto é, K(\alpha) = K_+(\alpha)\,K_-(\alpha), primeiramente tomando o logarítmo, e então procedendo a decomposição de soma. Decomposição de produtos de funções matriciais (que ocorrem em sistemas multi-modais acoplados tal como em ondas elásticas) são mais problemáticos, pois o logarítmo não é bem definido, e qualquer decomposição pode ser não-comutativa. Uma pequena subclasse de decomposições comutativas foi obtida por Khrapkov, e vários métodos aproximados foram também desenvolvidos.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Consideremos a equação diferencial parcial linear

\boldsymbol{L}_{xy}f(x,y)=0,

onde \boldsymbol{L}_{xy} é um operador linear que contém derivadas em relação a x e y, sujeita a condições mistas sobre y=0, para uma função prescrita g(x),

f=g(x) para x\leq 0, \quad f_{y}=0 quando x>0,

decaindo no infinito, isto é, f\rightarrow 0 com \boldsymbol{x}\rightarrow \infty. Aplicando a transformada de Fourier em relação a x, resulta na seguinte equação diferencial ordinária

\boldsymbol{L}_{y}\hat{f}(k,y)-P(k,y)\hat{f}(k,y)=0,

onde \boldsymbol{L}_{y} é um operador linear contendo somente derivadas em y, P(k,y) é uma função de y e k conhecida e

 \hat{f}(k,y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)e^{-ikx}\textrm{d}x.

Se uma solução particular desta equação diferencial ordinária que satisfaz o decaimento necessário no infinito é denotada por F(k,y), uma solução geral pode ser expressa como

 \hat{f}(k,y)=C(k)F(k,y),

sendo C(k) uma função incógnita a ser determinada pelas condições de contorno sobre y=0.

O ponto crucial é decompor \hat{f} em duas funções \hat{f}_{+} e \hat{f}_{-}, analíticas nos semi-planos superior e inferior do plano complexo, respectivamente

 \hat{f}_{+}(k,y)=\int_{0}^{\infty} f(x,y)e^{-ikx}\textrm{d}x,
 \hat{f}_{-}(k,y)=\int_{-\infty}^{0} f(x,y)e^{-ikx}\textrm{d}x.

As condições de contorno fornecem então

 \hat{g}(k)+\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}_{-}(k,0)+\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}(k,0) = C(k)F(k,0)

e, com derivadas parciais em relação a y,

 \hat{f}'_{-}(k,0) = \hat{f}'_{-}(k,0)+\hat{f}'_{+}(k,0) = \hat{f}'(k,0) = C(k)F'(k,0).

Eliminando C(k) resulta

 \hat{g}(k)+\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}'_{-}(k,0)/K(k),

com

 K(k)=\frac{F'(k,0)}{F(k,0)}.

Agora K(k) como o produto das funções K^{-} e K^{+}, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente, ou seja,  K(k)=K^{+}(k)K^{-}(k), onde

 \hbox{log}K^{-} = \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hbox{log}(K(z))}{z-k} \textrm{d}z, \quad \hbox{Im}k>0,
 \hbox{log}K^{+} = -\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hbox{log}(K(z))}{z-k} \textrm{d}z, \quad \hbox{Im}k<0.

Consequentemente,

 K_{+}(k)\hat{g}_{+}(k) + K_{+}(k)\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}'_{-}(k,0)/K_{-}(k) - K_{+}(k)\hat{g}_{-}(k),

onde foi assumido que g pode ser decomposta na soma de duas funções g_{+} e g_{-}, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente. Agora, como o lado esquerdo da equação acima é analítico no semi-plano inferior, enquanto o lado direito é analítico no semi-plano superior, a continuação analítica garante a existência de uma função em todo o plano, que coincide com o lado esquerdo ou com o lado direito em seus respectivos semi-planos. Além disso, como pode ser mostrado que as funções em cada um dos lados da equação acima decaem para grandes valores de k, a aplicação do teorema de Liouville mostra que esta única função é identicamente zero, e portanto,

 \hat{f}_{+}(k,0) = -\hat{g}_{+}(k),

e assim

 C(k) = \frac{\hat{g}(k)-\hat{g}_{+}(k)}{F(k,0)}.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]