Método de Wiener–Hopf

O Método de Wiener–Hopf é uma técnica amplamente utilizada em matemática aplicada. Foi desenvolvido inicialmente por Norbert Wiener e Eberhard Hopf como um método para resolver sistemas de equações integrais, porém foi aplicado com sucesso para resolver equações diferenciais parciais bidimensionais com condições de contorno mistas sobre o mesmo contorno. Em geral, o método explora as propriedades de funções complexas mediante transformação. A transformação típica utilizada é a transformada de Fourier, porém outras transformações já foram empregadas, como a transformada de Mellin.

Em geral, o problema de valores sobre o contorno é transformado, e o sistema resultante é usado para definir um par de funções complexas (tipicamente denotado com subscritos '+' e '-'), que são respectivamente analíticas nas metades superior e inferior do plano complexo, com crescimento não mais rápido que polinômios nestas regiões. Estas duas funções coincidem em alguma região do plano complexo, tipicamente uma tira estreita contendo o eixo real. A extensão analítica garante que estas duas funções definem uma função analítica simples em todo o plano complexo, e o Teorema de Liouville implica que esta função é um polinômio incógnito, que é normalmente zero ou constante. A análise das condições nas bordas e vértices possibilita determinar o grau deste polinômio.

Decomposição de Wiener–Hopf

O ponto crucial em muitos problemas de Wiener-Hopf é decompor uma função arbitrária $\Phi$ em duas funções $\Phi _{\pm }$ com as propriedades acima delineadas. Em geral, isto pode ser feito escrevendo

$\Phi _{+}(\alpha )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{1}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }}$

e

$\Phi _{-}(\alpha )=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{2}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }},$

onde os contornos $C_{1}$ e $C_{2}$ são paralelos ao eixo real, mas passam acima e abaixo do ponto $z=\alpha$, respectivamente.

Similarmente, funções escalares arbitrárias podem ser decompostas em um produto de funções +/-, isto é, $K(\alpha )=K_{+}(\alpha )\,K_{-}(\alpha )$, primeiramente tomando o logarítmo, e então procedendo a decomposição de soma. Decomposição de produtos de funções matriciais (que ocorrem em sistemas multi-modais acoplados tal como em ondas elásticas) são mais problemáticos, pois o logarítmo não é bem definido, e qualquer decomposição pode ser não-comutativa. Uma pequena subclasse de decomposições comutativas foi obtida por Khrapkov, e vários métodos aproximados foram também desenvolvidos.

Exemplo

Consideremos a equação diferencial parcial linear

${\boldsymbol {L}}_{xy}f(x,y)=0,$

onde ${\boldsymbol {L}}_{xy}$ é um operador linear que contém derivadas em relação a $x$ e $y$, sujeita a condições mistas sobre $y=0$, para uma função prescrita $g(x)$,

$f=g(x)$ para $x\leq 0,\quad f_{y}=0$ quando $x>0$,

decaindo no infinito, isto é, $f\rightarrow 0$ com ${\boldsymbol {x}}\rightarrow \infty$. Aplicando a transformada de Fourier em relação a x, resulta na seguinte equação diferencial ordinária

${\boldsymbol {L}}_{y}{\hat {f}}(k,y)-P(k,y){\hat {f}}(k,y)=0,$

onde ${\boldsymbol {L}}_{y}$ é um operador linear contendo somente derivadas em $y$, $P(k,y)$ é uma função de $y$ e $k$ conhecida e

${\hat {f}}(k,y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}{\textrm {d}}x.$

Se uma solução particular desta equação diferencial ordinária que satisfaz o decaimento necessário no infinito é denotada por $F(k,y)$, uma solução geral pode ser expressa como

${\hat {f}}(k,y)=C(k)F(k,y),$

sendo $C(k)$ uma função incógnita a ser determinada pelas condições de contorno sobre $y=0$.

O ponto crucial é decompor ${\hat {f}}$ em duas funções ${\hat {f}}_{+}$ e ${\hat {f}}_{-}$, analíticas nos semi-planos superior e inferior do plano complexo, respectivamente

${\hat {f}}_{+}(k,y)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}{\textrm {d}}x,$

${\hat {f}}_{-}(k,y)=\int _{-\infty }^{0}f(x,y)e^{-ikx}{\textrm {d}}x.$

As condições de contorno fornecem então

${\hat {g}}(k)+{\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}_{-}(k,0)+{\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}(k,0)=C(k)F(k,0)$

e, com derivadas parciais em relação a $y$,

${\hat {f}}'_{-}(k,0)={\hat {f}}'_{-}(k,0)+{\hat {f}}'_{+}(k,0)={\hat {f}}'(k,0)=C(k)F'(k,0).$

Eliminando $C(k)$ resulta

${\hat {g}}(k)+{\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}'_{-}(k,0)/K(k),$

com

$K(k)={\frac {F'(k,0)}{F(k,0)}}.$

Agora $K(k)$ como o produto das funções $K_{-}$ e $K_{+}$, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente, ou seja, $K(k)=K_{+}(k)K_{-}(k),$ onde

${\hbox{log}}K_{-}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\hbox{log}}(K(z))}{z-k}}{\textrm {d}}z,\quad {\hbox{Im}}k>0,$

${\hbox{log}}K_{+}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\hbox{log}}(K(z))}{z-k}}{\textrm {d}}z,\quad {\hbox{Im}}k<0.$

Consequentemente,

$K_{+}(k){\hat {g}}_{+}(k)+K_{+}(k){\hat {f}}_{+}(k,0)={\hat {f}}'_{-}(k,0)/K_{-}(k)-K_{+}(k){\hat {g}}_{-}(k),$

onde foi assumido que $g$ pode ser decomposta na soma de duas funções $g_{+}$ e $g_{-}$, que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente. Agora, como o lado esquerdo da equação acima é analítico no semi-plano inferior, enquanto o lado direito é analítico no semi-plano superior, a continuação analítica garante a existência de uma função em todo o plano, que coincide com o lado esquerdo ou com o lado direito em seus respectivos semi-planos. Além disso, como pode ser mostrado que as funções em cada um dos lados da equação acima decaem para grandes valores de $k$, a aplicação do teorema de Liouville mostra que esta única função é identicamente zero, e portanto,

${\hat {f}}_{+}(k,0)=-{\hat {g}}_{+}(k),$

e assim

$C(k)={\frac {{\hat {g}}(k)-{\hat {g}}_{+}(k)}{F(k,0)}}.$

Ver também

• Filtro de Wiener

Ligações externas

• «O Método de Wiener-Hopf, por Michiel Hazewinkel» (em inglês) 
• «O Método de Wiener-Hopf, no Wikiwaves» (em inglês)