Método de Wiener–Hopf

O Método de Wiener–Hopf é uma técnica amplamente utilizada em matemática aplicada. Foi desenvolvido inicialmente por Norbert Wiener e Eberhard Hopf como um método para resolver sistemas de equações integrais, porém foi aplicado com sucesso para resolver equações diferenciais parciais bidimensionais com condições de contorno mistas sobre o mesmo contorno. Em geral, o método explora as propriedades de funções complexas mediante transformação. A transformação típica utilizada é a transformada de Fourier, porém outras transformações já foram empregadas, como a transformada de Mellin.

Em geral, o problema de valores sobre o contorno é transformado, e o sistema resultante é usado para definir um par de funções complexas (tipicamente denotado com subscritos '+' e '-'), que são respectivamente analíticas nas metades superior e inferior do plano complexo, com crescimento não mais rápido que polinômios nestas regiões. Estas duas funções funções coincidem em alguma região do plano comlexo, tipicamente uma tira estreita contendo o eixo real. A extensão analítica garante que estas duas funções definem uma função analítica simples em todo o plano complexo, e o Teorema de Liouville implica que esta função é um polinômio incógnito, que é normalmente zero ou constante. A análise das condições nas bordas e vértices possibilita determinar o grau deste polinômio.

Decomposição de Wiener–Hopf [editar]

O ponto crucial em muitos problemas de Wiener-Hopf é decompor uma função arbitrária $\Phi$ em duas funções $\Phi_{\pm}$ com as propriedades acima delineadas. Em geral, isto pode ser feito escrevendo

$\Phi_+(\alpha) = \frac{1}{2\pi i} \int_{C_1} \Phi(z) \frac{dz}{z-\alpha}$

e

$\Phi_-(\alpha) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{C_2} \Phi(z) \frac{dz}{z-\alpha},$

onde os contornos $C_1$ e $C_2$ são paralelos ao eixo real, mas passam acima e abaixo do ponto $z=\alpha$ , respectivamente.

Similarmente, funções escalares arbitrárias podem ser decompostas em um produto de funções +/-, isto é, $K(\alpha) = K_+(\alpha)\,K_-(\alpha)$ , primeiramente tomando o logarítmo, e então procedendo a decomposição de soma. Decomposição de produtos de funções matriciais (que ocorrem em sistemas multi-modais acoplados tal como em ondas elásticas) são mais problemáticos, pois o logarítmo não é bem definido, e qualquer decomposição pode ser não-comutativa. Uma pequena subclasse de decomposições comutativas foi obtida por Khrapkov, e vários métodos aproximados foram também desenvolvidos.

Exemplo [editar]

Consideremos a equação diferencial parcial linear

$\boldsymbol{L}_{xy}f(x,y)=0,$

onde $\boldsymbol{L}_{xy}$ é um operador linear que contém derivadas em relação a $x$ e $y$ , sujeita a condições mistas sobre $y=0$ , para uma função prescrita $g(x)$ ,

$f=g(x)$ para $x\leq 0, \quad f_{y}=0$ quando $x>0$ ,

decaindo no infinito, isto é, $f\rightarrow 0$ com $\boldsymbol{x}\rightarrow \infty$ . Aplicando a transformada de Fourier em relação a x, resulta na seguinte equação diferencial ordinária

$\boldsymbol{L}_{y}\hat{f}(k,y)-P(k,y)\hat{f}(k,y)=0,$

onde $\boldsymbol{L}_{y}$ é um operador linear contendo somente derivadas em $y$ , $P(k,y)$ é uma função de $y$ e $k$ conhecida e

$\hat{f}(k,y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)e^{-ikx}\textrm{d}x.$

Se uma solução particular desta equação diferencial ordinária que satisfaz o decaimento necessário no infinito é denotada por $F(k,y)$ , uma solução geral pode ser expressa como

$\hat{f}(k,y)=C(k)F(k,y),$

sendo $C(k)$ uma função incógnita a ser determinada pelas condições de contorno sobre $y=0$ .

O ponto crucial é decompor $\hat{f}$ em duas funções $\hat{f}_{+}$ e $\hat{f}_{-}$ , analíticas nos semi-planos superior e inferior do plano complexo, respectivamente

$\hat{f}_{+}(k,y)=\int_{0}^{\infty} f(x,y)e^{-ikx}\textrm{d}x,$

$\hat{f}_{-}(k,y)=\int_{-\infty}^{0} f(x,y)e^{-ikx}\textrm{d}x.$

As condições de contorno fornecem então

$\hat{g}(k)+\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}_{-}(k,0)+\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}(k,0) = C(k)F(k,0)$

e, com derivadas parciais em relação a $y$ ,

$\hat{f}'_{-}(k,0) = \hat{f}'_{-}(k,0)+\hat{f}'_{+}(k,0) = \hat{f}'(k,0) = C(k)F'(k,0).$

Eliminando $C(k)$ resulta

$\hat{g}(k)+\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}'_{-}(k,0)/K(k),$

com

$K(k)=\frac{F'(k,0)}{F(k,0)}.$

Agora $K(k)$ como o produto das funções $K^{-}$ e $K^{+}$ , que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente, ou seja, $K(k)=K^{+}(k)K^{-}(k),$ onde

$\hbox{log}K^{-} = \frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hbox{log}(K(z))}{z-k} \textrm{d}z, \quad \hbox{Im}k>0,$

$\hbox{log}K^{+} = -\frac{1}{2\pi i}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\hbox{log}(K(z))}{z-k} \textrm{d}z, \quad \hbox{Im}k<0.$

Consequentemente,

$K_{+}(k)\hat{g}_{+}(k) + K_{+}(k)\hat{f}_{+}(k,0) = \hat{f}'_{-}(k,0)/K_{-}(k) - K_{+}(k)\hat{g}_{-}(k),$

onde foi assumido que $g$ pode ser decomposta na soma de duas funções $g_{+}$ e $g_{-}$ , que são analíticas nos semi-planos superior e inferior, respectivamente. Agora, como o lado esquerdo da equação acima é analítico no semi-plano inferior, enquanto o lado direito é analítico no semi-plano superior, a continuação analítica garante a existência de uma função em todo o plano, que coincide com o lado esquerdo ou com o lado direito em seus respectivos semi-planos. Além disso, como pode ser mostrado que as funções em cada um dos lados da equação acima decaem para grandes valores de $k$ , a aplicação do teorema de Liouville mostra que esta única função é identicamente zero, e portanto,