Sólido platónico

Um solido platônico ou poliedro regular, na geometria, é um poliedro convexo com:

Todas as faces são polígonos congruentes
O mesmo número de arestas encontra-se em todos os vértices

Os cinco sólidos platónicos são descritos no décimo-terceiro livro de Os Elementos, de Euclides, e são assim chamados pois foram estudados pela escola de Platão.^[1]

Tabela

Nome	Faces	Arestas	Vértices	Vértices por face	Encontros de faces em cada vértice	Configuração vértices
tetraedro	4	6	4	3	3	3.3.3
cubo (hexaedro)	6	12	8	4	3	4.4.4
octaedro	8	12	6	3	4	3.3.3.3
dodecaedro	12	30	20	5	3	5.5.5
icosaedro	20	30	12	3	5	3.3.3.3.3

Relação de Euler em poliedros regulares

Como em todos os sólidos convexos, nos sólidos platônicos também se cumpre a relação:

F + V – A = 2 ou F + V = A + 2

onde: V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.

Demonstração

A pergunta que surge é se existem Sólidos Platônicos além desses cinco, a resposta é não. Serão apresentadas a seguir duas demonstrações para o fato. A primeira, mais geométrica segue a demonstração dada originalmente por Euclides. A segunda utiliza a fórmula de Euler.

Demonstração Geométrica

Usaremos a seguinte propriedade fundamental: a soma dos ângulos dos polígonos em volta de cada vértice de um poliedro é sempre menor do que 360°. Esta é a proposição 21 do Livro XI do Os Elementos de Euclides.

Vamos agora analisar as diversas possibilidades de união de faces em torno de cada vértice, lembrando que (1) em um sólido platônico as faces são polígonos regulares congruentes e (2) são necessárias pelo menos três faces unidas em cada vértice para formar um sólido.

Faces são triângulos equiláteros com ângulos internos de 60°. Temos as seguintes possibilidades para cada vértice:

Número de triângulos	Soma dos ângulos	Poliedro resultante
n = 3	180°	Tetraedro
n = 4	240°	Octaedro
n = 5	300°	Icosaedro
n ≥ 6	≥ 360°	Não existe

Faces são quadrados com ângulos internos de 90°. Temos as seguintes possibilidades para cada vértice:

Número de quadrados	Soma dos ângulos	Poliedro resultante
n = 3	270°	Cubo
n ≥ 4	≥ 360°	Não existe

Faces são pentágonos regulares com ângulos internos de 108°. Temos as seguintes possibilidades para cada vértice:

Número de pentagonos	Soma dos ângulos	Poliedro resultante
n = 3	324°	Dodecaedro
n ≥ 4	≥ 360°	Não existe

Faces são polígonos regulares com n ≥ 6 lados, então a soma dos ângulos dos polígonos em torno de cada vértice é ≥ 360°. Sendo assim, não existe nenhum sólido platônico com faces hexagonais, heptagonais, etc.

Demonstração Topológica

Daremos uma outra demonstração para o fato de que só existem cinco sólidos platônicos, usando agora a fórmula de Euler: se V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces de um poliedro convexo, então

V − A + F = 2.

Considere então um sólido platônico cujas faces são polígonos regulares de n lados. Como cada aresta do poliedro é definida pela interseção dos lados de dois polígonos adjacentes, segue-se que se contarmos todos os lados de todos os polígonos, iremos contar duas vezes cada aresta do poliedro. Desta maneira:

n • F = 2 • A.

Denote por p o número de arestas do poliedro que concorrem em um mesmo vértice. Cada uma destas arestas, a exemplo das faces, se conecta a dois vértices. Assim, se contarmos o número de arestas em cada face, estaremos contando duas vezes o número de arestas do poliedro. Portanto:

p • V = 2 • A.

Substituindo-se os valores de V e F das Equações (1.2) e (1.3) na Equação (1.1), teremos que 2 • A/p − A+ 2 • A/n = 2 ou, ainda, 1/p − 1/A + 1/n = 1/2. Consequentemente,

A = (2 • n • p)/(2 • n + 2 • p − n • p).

Como o número A de arestas deve ser positivo, temos que 2 • n + 2 • p − n • p > 0, ou seja,

(2 • n)/(n − 2) > p.

Uma vez que p ≥ 3, concluímos que, obrigatoriamente, n < 6. As possibilidades são então as seguintes:

Se n = 3, então A = 6 • p/(6 - p) e, portanto, F = 2 • A/n = 4 • p/(6 − p). Desta última fórmula segue-se que p < 6. Agora:

(a) Se p = 3, então F = 4. Neste caso, o poliedro formado é o tetraedro. (b) Se p = 4, então F = 8. Neste caso, o poliedro formado é o octaedro. (c) Se p = 5, então F = 20. Neste caso, o poliedro formado é o icosaedro

Se n = 4, então A = 4 • p/(4 - p) e, portanto, F = 2 • A/n = 2 • p/(4 − p). Desta última fórmula segue-se que p < 4. Sendo assim, p = 3 e, portanto, F = 6. Neste caso, o poliedro formado é o cubo.
Se n = 5, então A = 10 • p/(10 - 3 • p) e, portanto, F = 2 • A/n = 4 • p/(10 − 3 • p). Desta última fórmula segue-se que p < 10/3. Sendo assim, p = 3 e, portanto, F = 12. Neste caso, o poliedro formado é o dodecaedro.

Operações sobre Sólidos Platônicos

Poliedros duais

O Poliedro dual de um Sólido Platónico é outro Sólido Platónico.

O dual do tetraedro é um tetraedro
O dual do octaedro é um cubo, e vice versa.
O dual do dodecaedro é um icosaedro, e vice versa.

Truncatura

Truncando sólidos platónicos obtêm-se onze dos treze Sólidos de Arquimedes:

O Tetraedro truncado, o Cuboctaedro, o Cubo truncado, o Octaedro truncado, o Rombicuboctaedro, o Cuboctaedro truncado, o Icosidodecaedro, o Dodecaedro truncado, o Icosaedro truncado, o Rombicosidodecaedro e o Icosidodecaedro truncado.

Snubificação

Por snubificação de sólidos platónicos são obtidos dois Sólidos de Arquimedes:

O Cubo snub e o Dodecaedro snub.

Poliedros platónicos inscritos

Quando um sólido platónico é inscrito numa esfera, ocupa a seguinte percentagem do volume da esfera:

Tetraedro: 12.2518%
Cubo: 36.7553%
Octaedro: 31.8310%
Dodecaedro: 66.4909%
Icosaedro: 60.5461%

Propriedades métricas dos sólidos platônicos

A tabela seguinte agrupa algumas das principais propriedades métricas dos sólidos platónicos.

Seja d a medida da aresta de um poliedro; podemos calcular em função de d os raios r, R, ρ, respectivamente da esfera inscrita, circunscrita e tangente à aresta. Também a área S da superfície e o volume V. Das fórmulas da tabela podemos deduzir as inversas.

Nome	r	R	ρ	S	V
Tetraedro	${\frac {\sqrt {6}}{12}}d$	${\frac {\sqrt {6}}{4}}d$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}d$	${\sqrt {3}}d^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{12}}d^{3}$
Cubo ou Hexaedro	${\frac {1}{2}}d$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}d$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}d$	$6d^{2}$	$d^{3}$
Octaedro	${\frac {\sqrt {6}}{6}}d$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}d$	${\frac {1}{2}}d$	$2{\sqrt {3}}d^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{3}}d^{3}$
Dodecaedro	${\frac {1}{20}}{\sqrt {(10(25+11{\sqrt {5}})}}d$	${\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$	${\frac {1}{4}}(3+{\sqrt {5}})d$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}d^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})d^{3}$
Icosaedro	${\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})d$	${\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}d$	${\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})d$	$5{\sqrt {3}}d^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})d^{3}$