Teorema de Steiner

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Text document with red question mark.svg
Este artigo ou secção contém uma ou mais fontes no fim do texto, mas nenhuma é citada no corpo do artigo, o que compromete a confiabilidade das informações. (desde junho de 2011)
Por favor, melhore este artigo introduzindo notas de rodapé citando as fontes, inserindo-as no corpo do texto quando necessário.

O teorema de Steiner ou teorema dos eixos paralelos é um teorema que permite calcular o momento de inércia de um sólido rígido relativo a um eixo de rotação que passa por um ponto O, quando são conhecidos o momento de inércia relativo a um eixo paralelo ao anterior e que passa pelo centro de massa do sólido e a distância entre os eixos.

Considerando-se:

ICM denota o momento de inercia do objeto sobre o centro de massa,

M a massa do objeto e d a distância perpendicular entre os dois eixos.

Então o momento de inercia sobre o novo eixo z é dado por:

 I_z = I_{cm} + Md^2.\,

Esta regra pode ser aplicada com a regra do estiramento e o teorema dos eixos perpendiculares para encontrar momentos de inércia para uma variedade de formatos.

Regra dos eixos paralelos para o momento de inércia de uma área.

A regra dos eixos paralelos também aplica-se ao segundo momento de área (momento de inércia de área);

I_z = I_x + Ad^2.\,

onde:

Iz é o momento de inércia de área através do eixo paralelo,

Ix é o momento de inércia de área através do centro de massa da área,

A é a medida de superfície da área, e

d é a distância do novo eixo z ao centro de gravidade da área.

O teorema dos eixos paralelos é um dos diversos teoremas referido como teorema de Steiner, devido a Jakob Steiner.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Pode-se supor, sem perda de generalidade, que em um sistema de coordenadas cartesiano a distância perpendicular entre os eixos está sobre o eixo x e que o centro de massa se encontra na origem. O momento de inércia relativo ao eixo z, passando sobre o centro de massa, é:

I_{cm} = \int{(x^2+y^2)} dm

O momento de inércia relativo ao novo eixo, que dista r, ao longo do eixo x, do centro de massa, é:

I_{z} = \int{((x-r)^2+y^2))} dm

Expandindo o quadrado dentro da integral, tem-se:

I_{z} = \int{(x^2-2xr+r^2+y^2)} dm = \int{(x^2+y^2)} dm + r^2\int{} dm - 2r\int{x} dm

O primeiro termo é Icm, o segundo se torna mr2 e o terceiro se anula uma vez sendo o centro de massa localizado na origem. Assim:

I_{z} = I_{cm} + mr^2\,


Em mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica clássica, o teorema dos eixos paralelos (também conhecido como teorema de Huygens-Steiner) pode ser generalizado para calcular um novo tensor de inércia Jij de um tensor inércia sobre um centro de massa Iij quando o ponto pivô é um deslocamento a do centro de massa:

\ J_{ij}=I_{ij} + M(a^2 \delta_{ij}-a_ia_j)

onde

\boldsymbol{a}=a_1\boldsymbol{\hat{x}}+a_2\boldsymbol{\hat{y}}+a_3\boldsymbol{\hat{z}}

é o vetor deslocamento do centro de massa ao novo eixo, e

\ \delta_{ij}

é o delta de Kronecker.

Nós podemos ver que, para elementos diagonais (onde i = j), deslocamentos perpendicular ao eixo de rotação resulta na versão simplificada acima do teorema dos eixos paralelos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências[editar | editar código-fonte]

Ícone de esboço Este artigo sobre física é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.