A matriz adjunta de uma matriz quadrada A é a transposta da matriz que se obtem substituindo cada termo pelo determinante da matriz resultante de retirar a A a linha i e a coluna j (isso é, o determinante menor) multiplicado por (isso é, alternando os sinais).
Exemplos
Matrizes do eduardo
Para toda matriz de ordem 2:
Construindo a adjunta passo-a-passo
Vamos deduzir a adjunta da matriz representada abaixo:
Primeiro calculamos a matriz dos determinantes menores, tradicionalmente representada por "".
Agora multiplicamos todo por para obter a matriz dos cofactores, tradicionalmente representada por "". Em termos mais simples, invertemos os sinais de todos aqueles termos cuja soma "" é ímpar.
Transpondo chegamos à adjunta de .
Matrizes 3x3
Para toda matriz na forma:
Fazendo a temos que:
Onde as barras verticais simbolizam determinante.
Propriedades
As seguintes propriedades são válidas para todas as matrizes
- , em que é a matriz identidade.
- , em que 0 é a matriz nula.
- em que
- , para o caso particular de ser resulta em
Aplicações da adjunta
Determinação da matriz inversa
Com a matriz adjunta pode-se calcular a inversa de uma matriz de uma maneira diferente da tradicional, embora não mais rápida. A forma mais eficiente de obter a matriz inversa é através da eliminação de Gauss-Jordan. Para toda matriz invertível A:
Logo, para toda matriz invertível de ordem 2:
Observação: Alguns matemáticos desrecomendam aquela notação em favor desta:
Vale reforçar que só é invertível a matriz que é quadrada e cujo determinante é diferente de zero.
Outras aplicações