Transformada de Legendre

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A transformada de Legendre consiste em uma transformação matemática que, quando aplicada sobre uma função sabidamente diferenciável em relação às suas variáveis independentes , fornece como resultado uma nova equação na qual as derivadas parciais associadas, e não as variáveis em si, figuram como variáveis independentes. A nova equação consiste na "mesma" equação inicial, mas agora "em uma forma reescrita", . A Transformada de Legendre realiza-se sempre de forma que nunca se perca qualquer informação presente na equação original, devendo as mesmas informações estarem sempre contidas na nova equação.[1]

A Transformada de Legendre e a Termodinâmica[editar | editar código-fonte]

A Transformada de Legendre encontra enorme aplicação em uma área da Física conhecida por Termodinâmica, área que tem por objetivo o estudo dos sistemas constituídos por "infinitos" entes físicos, moléculas em uma amostra confinada de gás, a exemplo.

Equação fundamental e Equação de estado[editar | editar código-fonte]

Em termodinâmica, cada sistema em estudo é descrito por uma equação matemática conhecida por equação fundamental, uma equação que retém em si todas as informações físicas associadas a este sistema. O conceito de equação fundamental reside no fato de, uma vez estabelecida a fronteira do sistema - o seu volume -, o número de entes que o compõem - o seu conteúdo material -, e a energia interna do sistema - o seu conteúdo em energia -, as condições deste sistema no equilíbrio termodinâmico encontram-se por estas grandezas (e algumas outras em sistemas mais complexos, como os magnéticos) então completamente determinadas, sendo obviamente calculáveis a partir das mesmas.

As informações físicas, quando necessárias, podem ser extraídas da equação fundamental empregando-se um formalismo matemático inerente ao estudo da termodinâmica. A exemplo, para sistemas simples, no formalismo da entropia, a equação fundamental para a entropia S em um gás ideal será dependente das grandezas volume (V), número de partículas (e não de moles) N, e da Energia Interna U: . No formalismo da energia, isolando-se a energia interna U em tem-se facilmente , também uma equação fundamental. Qualquer informação física, incluindo-se as equações de estado, a exemplo a equação de Clapeyron e a equação da energia (n= 3; 5; ... ) para o caso dos gases ideais, pode ser facilmente extraídas da equação fundamental.

Repare que as duas equações anteriores, a de Clapeyron e a da energia , em função das grandezas tomadas como independentes, são equações de estado e não equações fundamentais do sistema, e portanto não retém em si, quando isoladas, todas as informações necessárias à determinação de todas as propriedades físicas do sistema. Caso conheçam-se as equações de estado de um sistema pode-se obter uma, e em consequência - mediante transformadas de Legendre - todas as equações fundamentais do sistema, mas para isto é necessário que conheçam-se de antemão todas as equações de estado do sistema, sem ausência de nenhuma delas. A título de curiosidade a equação fundamental para um sistema composto por N partículas de um gás ideal confinados em um volume V e com energia interna U é, na representação entrópica, com representando a constante de Boltzman e c uma constante, e a menos de constante(s) acompanhando a grandeza N com unidade(s) definida(s) de forma a tornar correta a análise dimensional, não explicitamente indicadas aqui [2] :

[3]

Isolando-se U, tem-se, na representação da energia:

Verifica-se experimentalmente, entretanto, que as grandezas intensivas como a pressão , temperatura , e potencial químico ( onde , e no formalismo termodinâmico da energia) são muito mais acessíveis por medidas experimentais do que as grandezas extensivas como o volume V, entropia S e número de partículas N. Seria portanto extremamente conveniente, em acordo com a situação, principalmente em situações onde uma ou mais destas permaneçam constantes, que a equação fundamental pudesse ser reescrita, sem perda de informação, em função destas grandezas intensivas.

Representações no Formalismo da Energia[editar | editar código-fonte]

A Transformada de Legendre cumpre exatamente o papel na termodinâmica de permitir que se escreva a equação fundamental de um sistema em função das grandezas intensivas (e/ou extensivas) associadas, e não apenas em função das correspondentes extensivas. Em acordo com a grandeza extensiva "transformada" para a intensiva a ela conjugada, dentro do formalismo da energia, a exemplo, surgem várias representações possíveis para a equação fundamental, a saber:

  • A energia interna U, onde  : a representação padrão no formalismo da energia.
  • A energia livre de Helmholtz F, onde : decorre da substituição da grandeza extensiva S em pela correspondente grandeza conjugada, T, mediante F= U-TS , sendo "mais adequada" para o estudo das transformações isotérmicas.
  • A entalpia H, onde : decorre da substituição da grandeza extensiva V em pela correspondente intensiva, P, mediante H= U+PV , sendo "mais adequada" para o estudo das transformações isobáricas.
  • A energia livre de Gibbs G, onde : decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e da grandeza extensiva V pela correspondente grandeza conjugada P em , mediante G= U-TS+PV , sendo "mais adequada" para o estudo de processos que ocorrem à temperatura e pressão constantes.
  • O grande potencial canônico, , decorre das substituições da grandeza extensiva S pela correspondente intensiva, T, e das grandezas extensivas pelas correspondentes intensivas em , mediante , sendo "mais adequada" para o estudo de processos onde ocorrem várias substâncias misturadas (N_1, N_2,...) e, mesmo em caso de substância única, trocas de partículas à temperatura constante.

Em função da entropia S ser sempre uma função monótona crescente da energia interna U, a equação fundamental fundamental pode sempre ser "facilmente" reescrita, mediante troca de variáveis, para fornecer a equação, também fundamental, , o que, de forma similar ao feito para o formalismo da energia, dá origem ao que se conhece por formalismo termodinâmico da entropia (ou entrópico), igualmente aplicável ao estudo dos sistemas termodinâmicos e capaz de fornecer os mesmos resultados e informações antes obtidos no formalismo da energia. Transformadas de Legendre podem ser igualmente aplicadas à equação fundamental em acordo com o caso em estudo, fornecendo equações fundamentais que nem sempre recebem nomes especiais, sendo estas gerericamente conhecidas por funções de Massieu. No formalismo da energia, a energia interna e suas transformadas são geralmente conhecidas por potenciais termodinâmicos.

A transformada de Legendre[editar | editar código-fonte]

Descrição[editar | editar código-fonte]

O gráfico de uma função, e de sua reta tangente, com inclinação no ponto x.
Há duas formas de se especificar a curva vista em vermelho na figura: fornecendo-se diretamente a relação entre Y e X (a exemplo Y=X²), ou especificando-se o conjunto de retas a ela tangentes - vistas em azul na figura. Para definir-se este conjunto de retas especifica-se a relação existente entre o interceptos e as inclinações P das respectivas retas: no exemplo. A transformada de Legendre,quando aplicada a uma das equações, fornece a outra (ou, ao rigor da matemática, menos a outra: ).

Para a compreensão da transformação de Legendre ir-se-á considerar aqui a interpretação geométrica da Transformada de Legendre, e por comodidade mas sem perda de generalidade, considerar-se-á também uma função dependente de apenas uma variável independente, X.

Sendo no presente caso, à primeira vista pode parecer que para se obter uma função onde P e não X desempenha o papel de variável independente bastaria eliminar-se X em mediante a relação estabelecida entre P e X por . Um reflexão um pouco mais aguçada, entretanto, mostrará que neste processo perde-se informação associada à curva inicial visto que, uma vez conhecido , não se pode inverter o processo de forma a se obter novamente de forma unívoca a função inicial . Na transformação proposta a informação relativa à inclinação associada a um dado ponto da curva inicial é preservada para cada ponto da curva, mas a informação sobre qual é exatamente este ponto X, ou seja, a informação de onde a reta tangente em X corta o eixo Y, não. Assim, apesar de ser possível se reconstruir o "formato" da curva inicial partindo-se de , a determinação da distância exata desta curva ao eixo coordenado Y no gráfico não será possível, podendo a curva que se obtém da reconstrução transladar livremente na horizontal; a informação da posição correta desta se perde na transformação inicial, conforme proposta.

A solução para o problema deve ser obtida partindo-se da observação de que qualquer equação que permita construir a família de retas tangentes a uma dada curva - e não apenas conhecer a inclinação de cada reta tangente em questão - automaticamente determina a própria curva de forma tão boa quanto o faz a equação da curva.

Para tal, considere a reta tangente à curva no ponto específico (X,Y) cuja inclinação é P (ver figura). É possível identificar o ponto onde esta reta intercepta o eixo Y e perceber que, da definição de inclinação de uma reta:

donde tem-se

Como as expressões e são conhecidas, uma simples álgebra matemática permite a eliminação de X e Y em favor de P e na equação acima, o que fornece a procurada relação . Esta relação claramente permite a reconstrução de cada uma das retas tangentes com precisão, pois fornecendo-se o valor da inclinação P de uma delas, sabe-se com clareza, então, o ponto onde esta reta deve interceptar o eixo Y.

Para recuperar-se a equação original partindo-se da equação , basta considerar que a Transformada de Legendre é simétrica, exceto por um sinal de menos na equação de transformação[4] , à sua inversa. Assim, à parte um sinal de menos a se considerar, sendo T a transformação de Legendre, aplicá-la duas vezes em sequência fornecerá a mesma função inicial (T² = 1).

Em resumo tem-se:

A transformada de Legendre:
Determinar e Determinar e
Eliminação de X e Y fornece Eliminação de P e fornece

Ao rigor da Matemática [5] [editar | editar código-fonte]

Definições[editar | editar código-fonte]

Em matematica, a Transformada de Legendre, em homenagem a Adrien-Marie Legendre, é uma operação que transforma uma função real de variáveis reais em outra. A transformada de Legendre de uma função ƒ é a função ƒ definida por:

Se ƒ é diferenciável, então ƒ(p) pode ser interpretado como o negativo [6] do intercepto em Y gerado por uma reta de inclinação particular p quando esta encontre-se tangente ao gráfico de ƒ. Em particular, para o valor de x associado ao máximo anterior tem-se a propriedade:

Isto é, a derivada da função ƒ torna-se o argumento da função ƒ. Em particular, se ƒ é convexa (ou côncava para cima), então ƒ satisfaz a definição de um funcional.

A Transformada de Legendre é sua própria inversa. Da mesma forma que as transformadas integrais, a Transformada de Legendre pega uma função ƒ(x) e fornece uma função de uma variável diferente p. Entretanto, enquanto as transformadas integrais consistem em integrais com um núcleo, a transformada Legendre usa o processo de maximização como processo de transformação. A transformada de Legendre é especialmente "bem-comportada" se ƒ(x) é uma função convexa.

A Transformada de Legendre é uma aplicação da relação de dualidade entre pontos e linhas. A função especificada por f(x) pode ser igualmente bem representada pelo conjunto de pontos (x, y), ou pelo conjunto de retas tangentes especificadas pelos valores de suas inclinações e pelos seus correspondentes interceptos no eixo coordenado Y.

A transformada de Legendre pode ser generalizada para fornecer a Transformada de Legendre-Fenchel.

A definição de Transformada de Legendre pode ser mais explícita. Para maximizar em relação a , faz-se a sua derivada igual a zero:

Então a expressão é maximizada quando:

Quando é convexa, isto é seguramente um máximo porque a segunda derivada é negativa:

Em um próximo passo inverte-se (2) para obter-se como função de e leva-se o resultado (1) , o que fornece uma forma mais prática para o uso,

Esta definição fornece o processo convencional para se calcular a transformada de Legendre de : encontre , inverta para e substitua o resultado em . Esta definição torna clara a seguinte interpretação: a Transformada de Legendre produz uma nova função, na qual a variável independente é substituída por , o qual é a derivada da função original em respeito a .

Consideração importante[editar | editar código-fonte]

Há ainda uma terceira definição para Transformada de Legendre: e são ditas transformadas de Legendre uma da outra se suas primeiras derivadas são funções inversas uma da outra:

Pode-se ver isto através do cálculo da derivada de :

Combinando-se esta equação com a condição de maximização ter-se-á como resultado o seguinte par de equações recíprocas:

Vê-se que e são inversas, conforme prometido. Elas são unívocas a menos de uma constante aditiva que é fixada pelo requerimento adicional de que:

embora em alguns casos, a exemplo explicito, na termodinâmica e mecânica clássica, um requerimento não padronizado seja utilizado:

O último requisito foi o utilizado em todas as demais seções deste artigo, embora o rigor matemático solicite o primeiro: ao rigor da matemática a Transformada de Legendre é exatamente a sua própria inversa, e encontra-se assim diretamente relacionada à Integração por partes.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Com uma variável[editar | editar código-fonte]

A exemplo, aplicar-se-á a transformada de Legendre à função

Tem-se, seguindo-se os passos da tabela anterior:

Da linha 2:

Logo, para a linha 3:

e

Da linha 4:

Eliminando-se X e Y:

resulta em:

Assim, a Transformada de Legendre para é [7]

A transformação inversa ficará a cargo do leitor.

Com duas ou mais variáveis[editar | editar código-fonte]

A título de ilustração calcular-se-á a energia livre de Helmholtz para um gás ideal partindo-se da equação fundamental para a energia interna .

Conforme antes apresentado (e mantidas as mesmas ressalvas), para um gás monoatômico ideal constituído por N partículas confinadas em um volume V e com uma entropia interna S:

da qual busca-se a energia de Helmholtz F, a ser calculada como:

mediante substituição da variável S pela sua respectiva conjugada, T.

Pelo formalismo termodinâmico tem-se que:

onde os índices V e N enfatizam que as grandezas volume V e quantidade de partículas N devem ser tratadas como constantes na derivada parcial. Procedendo-se o cálculo da derivada ter-se-á:

Isolando-se a entropia como função da temperatura e demais grandezas ter-se-á:

a ser substituída em

o que resulta em:

Uma simples inspeção na equação anterior, mesmo sem simplificá-la, permite a conclusão de que a função F já encontra-se dependente apenas das variáveis T, V e N, conforme pretendido.

Procendo com os cálculos, ter-se-á:

o que, com mais algumas simplificações, resulta em:

que é a Energia Livre de Helmholtz para um gás ideal, uma equação fundamental com exatamente as mesmas informações contidas na equação original para a energia interna.

Novamente termodinâmica, e mecânica clássica[editar | editar código-fonte]

Termodinâmica: tabelas de transformadas[editar | editar código-fonte]

No contexto da termodinâmica, dentre todas as possíveis transformadas de Legendre, as seguintes são particularmente muito frequêntes e importantes:

Transformadas de Legendre na Termodinâmica - Formalismo da Energia - Partindo-se de tem-se:
Determinar e Determinar e Determinar e Determinar e
Eliminação de U e S fornece: Eliminação de U e V fornece: Eliminação de H e S fornece: Eliminação de F e fornece:
Energia Livre de Helmholtz F Entalpia H Energia livre de Gibbs G Grande Potencial Canônico C
Transformadas de Legendre em Termodinâmica - Formalismo da Energia - Para chegar-se a tem-se:
Determinar e Determinar e Determinar e Determinar e
Eliminação de T e F fornece: Eliminação de P e H fornece: Eliminação de G e T fornece: Eliminação de C e fornece:
Energia Interna U Energia Interna U Entalpia H Energia Livre de Helmhotz F

Lagrangianas e Hamiltonianos[editar | editar código-fonte]

No contexto da mecânica clássica o princípio de Lagrange [8] garante que uma função particular, a Lagrangiana do sistema, caracteriza-o completamente no que se refira à sua dinâmica. A Lagrangiana é uma função de 2r variáveis, r coordenadas generalizadas e r velocidades generalizadas, e desempenha em mecânica, de forma similar ao de na termodinâmica, o papel de equação fundamental para a dinâmica:

Sendo uma equação fundamental, aplicando-se o formalismo da mecânica Lagrangiana pode-se então chegar às equações diferenciais e posteriormente às equações horárias que descrevem toda a dinâmica do sistema em questão.

A transformada de Legendre aplica-se também à Lagrangiana. Neste contexto, o momento generalizado conjugado à correspondente velocidade é definido como a deriva parcial da lagrangiana em relação à respectiva velocidade (k<=r):

Caso deseje-se substituir como variáveis independentes todas as velocidades pelos correspondentes momentos, devem-se fazer Transformadas de Legendre em relação a todas as velocidades. Assim, introduz-se uma nova função, chamada Hamiltoniano, definida por:

Um novo formalismo dinâmico, a mecânica hamiltoniana, pode então ser empregada em termos da nova equação fundamental

As hamiltonianas são particularmente importantes no estudo da mecânica quântica.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Oscilador harmônico simples ideal. O estudo deste sistema pode ser feito através do conhecimento de sua Lagrangiana ou de seu Hamiltoniano. Conhecida um destas funções, obtém-se facilmente a outra através da Transformada de Legendre

Inicialmente determinar-se-á a Lagrangiana e posteriormente o Hamiltoniano para um oscilador harmônico unidimensional constituído de uma massa presa em uma das extremidades de a uma mola e apoiada em uma mesa sem atrito.

A Lagrangiana do sistema é definida no contexto da mecânica lagrangiana como a diferença entre a energia cinética T e a energia potencial U do sistema, o que para este presente caso resulta, considerado que só há energia potencial elástica no sistema:

Nesta equação, representa a velocidade da partícula associada à coordenada x.

A partir desta equação fundamental pode-se, de posse do formalismo da mecânica lagrangiana e do Princípio de Lagrange, determinar a equação de movimento para a massa.

Para fins de comparação das soluções, a solução no formalismo lagrangiano é apresentado abaixo, partindo-se para tal do Princípio de Lagrange que afirma, sendo

tem-se, com i=1,2,...

que:

Para o problema em questão:

O que, substituído na equação para o Princípio de Lagrange, fornece:

, que é a equação diferencial para o sistema em estudo.

A solução desta equação diferencial leva a uma função horária cossenoidal para o movimento da massa no oscilador harmônico simples considerado (para a solução, consulte o artigo dedicado).

onde

Procura-se agora chegar a uma mesma solução através do formalismo da mecânica hamiltoniana.

O Hamiltoniano para o sistema pode ser obtida através da Transformada de Legendre aplicada à Lagrangiana, conforme descrito anteriormente.

Seguindo-se os passos prescritos, o momento generalizado associado à velocidade é:

de onde, isolando-se

Determinando-se o Hamiltoniano H através de

tem-se, já eliminando-se em favor de P:

Resolvendo, chega-se ao Hamiltoniano do sistema, uma equação fundamental que contém igualmente todas as informações necessárias sobre a dinâmica do sistema:

Aplicar-se-á agora o formalismo da mecânica hamiltoniana a fim de se comparar os resultados.

As equações diferenciais de movimento no formalismo de Hamilton são, já adaptadas ao problema unidimensional com variáveis x e P (fez-se q=x para tal):

Da primeira tem-se:

donde

para um sistema com massa constante.

Substituindo na segunda:

e por fim

que é a mesma equação diferencial antes obtida pelo formalismo lagrangiano, o que leva à mesma solução já apresentada, obviamente.

Referências

  1. A redação da maior parte deste artigo dá-se em acordo com o descrito em Callen, Herbert B. - Thermodynamics and An Introduction to Thermostatics - John Wiley & Sons - ISBN 0-471-86256-8
  2. A saber, o expoente em funções exponenciais e o argumento em logaritmos devem ser adimensionais. Para maiores detalhes, consulte a versão anglófona do artigo Gases ideais.
  3. Em acordo com Salinas, Sílvio R. A. - Introdução à Física Estatística - EdUSP - 1999 - ISBN 85-314-0386-3
  4. O leitor é alertado neste ponto sobre algumas sutilezas na(s) definição(ões) de Transformada de Legendre, devendo o mesmo proceder a leitura da seção Consideração importante para maiores detalhes.
  5. Conforme tradução parcial do artigo encontrado na versão anglófona da Wikipédia em 14 de fevereiro de 2010 às 22:58 horas.
  6. Em termodinâmica e em várias outras situações não considera-se este sinal, devendo tomar-se algum cuidado quanto ao mesmo, conforme mais adiante explicado no presente texto.
  7. Ao rigor da matemática, .
  8. Para maiores detalhes sobre os formalismos de Lagrange e de Hamilton consulte Thornton; Marion - Classical Dynamics of Particle and Systems Fourth Edition - Sounders College Publishing, 1995 - ISBN 0-03-097302-3

Ver também[editar | editar código-fonte]