Vector espacial

 Nota: Se procura outros significados de vetor, veja Vetor.

Representação gráfica de um vector.

Em geometria analítica, um vector espacial,ou simplesmente vector, é uma classe de elementos geométricos, denominados segmentos de recta orientados, que possuem todos mesma intensidade (denominada norma ou módulo), mesma direcção e mesmo sentido.

Neste contexto, um vector $_{\vec {a}}$ pode ser representado por qualquer segmento de recta orientado que seja membro da classe deste vector (ou seja: pode ser representado por qualquer segmento de recta orientado que possua mesmo módulo, mesma direcção e mesmo sentido de qualquer outro segmento da referida classe). E se o segmento $_{\vec {AB}}$ (segmento de recta orientado do ponto A para o ponto B) for um representante do vector $_{\vec {a}}$, então podemos dizer que o vector $_{\vec {a}}$ é igual ao vector $_{\vec {AB}}$.

De maneira mais formal, em geometria analítica um vector é definido como sendo uma classe de equipolência de segmentos de recta orientados de $\mathbb {V} ^{3}$ (em que $\mathbb {V} ^{3}$ intuitivamente representa vectores dentro de um espaço tridimensional, ou seja, vectores dotados de três coordenadas -- geralmente x, y e z).

Quando falamos em distância geométrica "de A para B", podemos imaginar que o ponto A está sendo "carregado" até chegar ao ponto B.

Muitas operações algébricas nos números reais possuem formas análogas para vectores. Vectores podem ser adicionados, subtraídos, multiplicados por um número e invertidos. Essas operações obedecem às conhecidas leis da álgebra: comutatividade, associatividade e distributividade. A soma de dois vectores com o mesmo ponto inicial pode ser encontrada geometricamente usando a regra do paralelogramo. A multiplicação por um número positivo (comummente chamado escalar), nesse contexto, se resume a alterar a magnitude do vector, isto é, alongando ou encurtando-o porém mantendo o seu sentido. A multiplicação por -1 preserva a magnitude mas inverte o sentido. As coordenadas cartesianas fornecem uma maneira sistemática de descrever e operar vectores.

Os vectores desempenham um papel importante na física: velocidade e aceleração de um objecto e as forças que agem sobre ele são descritas por vectores. É importante ressaltar, no entanto, que os componentes de um vector físico dependem do sistema de coordenadas usado para descrevê-lo. Outros objectos usados para descrever quantidades físicas são os pseudo-vectores e tensores.

Módulo ou Norma do Vector - $||{\vec {a}}||$

Módulo do vector é seu comprimento (na figura, seria a distância de A a B).

Fórmula de cálculo : $||{\vec {a}}||={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ (dedução a partir do Teorema de Pitágoras)

correcção: norma e módulo não são a mesma coisa.

Operações com vectores

Adição vectorial.

Adição (ou Regra do paralelogramo)

${\vec {a}}+{\vec {b}}=(a_{x}+b_{x}){\vec {e}}_{x}+(a_{y}+b_{y}){\vec {e}}_{y}+(a_{z}+b_{z}){\vec {e}}_{z}$

Subtração

${\vec {a}}-{\vec {b}}=(a_{x}-b_{x}){\vec {e}}_{x}+(a_{y}-b_{y}){\vec {e}}_{y}+(a_{z}-b_{z}){\vec {e}}_{z}$

Ângulo entre dois vectores

$cos\theta ={\frac {a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}}{||{\vec {a}}||||{\vec {b}}||}}$

Um vector poderia, ser dado pelas suas propriedades sobre diferentes mudanças de sistema coordenadas. Também é possível generalizar esta definição para espaços não euclidianos com várias dimensões. Por exemplo, em geometria diferencial, um vector pode ser definido como uma derivada de uma curva em um variedade e desta forma possui uma definição livre da escolha de um sistema específico de coordenada. ma definição deferencial também mostra que um vector é um caso específico de um objecto mais genérico chamado tensor. Vectores são os tijolos com os quais se constrói o Cálculo Vectorial.

Os vectores têm aplicação em várias áreas científicas (física, engenharia e economia, por exemplo, onde facilitam a resolução de al.

Em álgebra, vector é um elemento de uma estrutura abstracta chamada espaço vectorial

Versor - ${\vec {u}}$

Versor é um vector de valor unitário, ou seja, o módulo é igual a 1. É utilizado para indicar direcção, sentido e o ângulo formado com o eixo referencial.

${\vec {u}}={\frac {\vec {v}}{|{\vec {v}}|}}$

Ver também

• Espaço afim, que distingue vectores e pontos
• Quadrivetor, a especialização para o espaço-tempo na teoria da relatividade
• Vector normal
• Vector nulo
• Componentes tangencial e normal (de um vector)
• Vector unitário
• Cálculo vectorial
• Fibrado vectorial
• Notação vectorial
• Fasor, Vector de rotação
• Polígono funicular

Ligações externas

• Matrizes, Vetores e Geometria Analítica. Livro de Reginaldo J. Santos disponibilizado pela UFMG.
• Apostila on-line da Fundação CECIERJ
• Módulo 'vetores' no sistema e-física do Instituto de Física da USP.
• História dos vetores
• O que é vetor (arte vetorial)