Exponenciação

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Exponenciação ou potenciação é uma operação matemática, escrita como aⁿ, envolvendo dois números: a base a e o expoente n. Quando n é um número natural maior do que 1, a potência aⁿ indica a multiplicação da base a por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,

$${{a^{n}=} \atop {\ }}{{\underbrace {a\times \cdots \times a} } \atop n},$$

da mesma forma que a multiplicação de n por a pode ser vista como uma soma de n parcelas iguais a a, ou seja,

$$a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$$

O expoente geralmente é indicado à direita da base, aparecendo sobrescrito ou separado da base por um circunflexo. Pode-se ler aⁿ como a elevado à n-ésima potência, ou simplesmente a elevado a n. Alguns expoentes possuem nomes específicos, por exemplo, a² costuma ser lido como a elevado ao quadrado , a³ como a elevado ao cubo e a⁴ como a elevado a quarta potência. Assim sucessivamente.

A potência aⁿ também pode ser definida quando n é um inteiro negativo, desde que a seja diferente de zero. Não existe uma extensão natural para todos os valores reais de a e n, apesar de que quando a base é um número real positivo é possível definir aⁿ para todo número real n, e até mesmo para números complexos através da função exponencial e^z. As funções trigonométricas podem ser representadas em termos da exponenciação complexa.

Na resolução de sistemas de equações diferenciais lineares utiliza-se um tipo de exponenciação em que os expoentes são matrizes.

A potenciação também é usada em várias outras áreas, incluindo economia, biologia, física e ciência da computação, com aplicações tais quais juros compostos, crescimento populacional, cinética química, comportamento de ondas e criptografia de chave pública.

Definição

Gráfico da função exponencial (base 2).

As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica.

Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:

$a^{(n\ m)}=(a^{n})^{m}$ $a>1\land n>m\rightarrow a^{n}>a^{m}$

Expoente zero

Para que

$$a^{n}\ a^{m}\ =a^{(n+m)},$$

continue valendo para n = 0, devemos ter:

$$a^{0}=1$$

Expoentes inteiros negativos

Para que

$$a^{n}\ a^{m}=a^{(n+m)}$$

seja válido para n + m = 0, é necessário que elevar um número (exceto 0) à potência -1 produza seu inverso.

$$a^{-1}=\left({\frac {1}{a}}\right)$$

Então esse cálculo fica assim  :

$$a^{-n}=a^{-1.n}={(a^{-1})}^{n}={\left({\frac {1}{a}}\right)}^{n}={\frac {1^{n}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$$

Elevando 0 a uma potência negativa implicaria uma divisão por 0, sendo assim indefinido.

Um expoente inteiro negativo também pode ser visto como uma divisão pela base. Logo:

$$3^{-5}={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}\cdot {\frac {1}{3}}=\left({\frac {1}{3}}\right)^{5}={\frac {1}{3^{5}}}$$

Pode-se provar que, com essa definição, $a^{(n+m)}=a^{n}\ a^{m}$ continua valendo para $n,m\in \mathbb {Z} .$

Expoentes um e zero

• qualquer número elevado a "um" é igual a ele mesmo.

$$n^{1}=n$$

• qualquer número (exceto o 0) elevado a 0 é igual a 1.

$$n^{0}=n^{1}\cdot n^{-1}=n\cdot {\frac {1}{n}}=1$$

Indeterminações

Na exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:

• $0^{0}$
• $\infty ^{0}$
• $1^{\infty }$

Potências cujo expoente não altera o resultado

Potências de 0

As potências de 0 são as potências de base 0, dados por $0^{n}$ n>0. A matemática julga ser indeterminado o valor da potência: $0^{0},$ mas as potências cuja base é 0 e cujo expoente é positivo, têm como resultado o próprio 0. As outras potências cuja base é 0 e cujo expoente é negativo, têm como resultado ${\infty }$ (infinito).

Potências de 1

As potências de 1 são as potências de base 1, dados por $1^{n},$ sendo n pertencente aos reais. Não importa o valor de "n", $1^{n}$ será sempre 1. Não se pode afirmar que 0 elevado a 0 é igual a 1.

Potências de 10

Multiplicações sucessivas por 10 são fáceis de efectuar pois usamos um sistema decimal. Por exemplo, $10^{6}$ é igual a um milhão, que é 1 seguido de 6 zeros. Exponenciação com base 10 é muito utilizada na física para descrever números muito grandes ou pequenos em notação científica; por exemplo, 299 792 458 (a velocidade da luz no vácuo, em metros por segundo) pode ser escrita como 2,99792458 × $10^{8}$ e então aproximada para 2,998 × $10^{8}.$ Os prefixos do sistema internacional de unidades também são utilizados para medir quantidades grandes ou pequenas. Por exemplo, o prefixo "kilo" (quilo) significa $10^{3}$ = 1 000, logo, um quilómetro é igual a 1 000 metros.

Potências de 2

Potências de 2 são importantes na ciência da computação. Por exemplo, existem $2^{n}$ valores possíveis para uma variável que ocupa n bits da memória. 1 kilobyte = $2^{10}$ = 1 024 bytes. Como pode haver confusão entre os significados padrão dos prefixos, em 1998 a Comissão Eletrotécnica Internacional aprovou vários prefixos binários novos. Por exemplo, o prefixo de múltiplos de 1 024 é kibi-, então 1 024 bytes é equivalente a um kibibyte. Outros prefixos são mebi-, gibi- e tebi-.

Expoentes fracionários

Para que a expressão

$$x^{n}\cdot x^{m}=x^{(n+m)}$$

seja válida para números racionais, devemos ter:

$${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}$$

Ou, de forma genérica, para qualquer expoente fracionário, o denominador do expoente é o índice da raiz e o numerador é o expoente do radicando.

$${\sqrt[{b}]{x^{a}}}=x^{\frac {a}{b}}$$

Observe que para que isso seja válido, independentemente da fração usada no expoente, deve-se impor que x seja um número positivo e b diferente de 0.

Expoentes decimais

No caso de expoente decimal, devemos transformá-lo em fração e depois em raiz.

$$x^{1,5}=x^{\frac {15}{10}}=x^{\frac {3}{2}}={\sqrt[{2}]{x^{3}}}$$

Expoentes irracionais

Como a exponenciação tem a propriedade de que expoentes próximos geram resultados próximos (essa noção pode ser tornada mais precisa usando-se o conceito de continuidade), pode-se definir expoentes irracionais:

$$x^{\pi }\approx x^{3,14159}$$

Expoentes imaginários e complexos

Ver artigo principal: Fórmula de Euler

Euler divulgou a fórmula

$$e^{i.x}=\cos x+i\cdot \operatorname {sen} x$$

que, sob a forma equivalente $\log _{e}(\cos x+i\operatorname {sen} x)=ix$ já era conhecida por Roger Cotes.

Assim, usando-se logaritmos, pode-se definir para qualquer $a$ real e $z$ complexo, $z=x+iy$:

$$a^{z}=(e^{\log a})^{z}=e^{(z\cdot \log a)}=a^{x}(\cos(y\ \log a)+i\cdot \operatorname {sen}(y\ \log a))$$

Sintaxe em linguagens de programação e programas

A maioria das linguagens de programação fornece métodos para executar a exponenciação, porém eles variam entre as diversas linguagens:

• x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros
• x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash
• pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)
• Math.pow(x, y): Java, JavaScript, ActionScript 3
• $x^y$: LaTeX
• Em Pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas.
  • Os compiladores Pascal aceitam a notação x ^ y.

Um cuidado deve ser tomado: como, normalmente, os compiladores traduzem a potenciação pela expressão exp(y * ln(x)), quando $x<=0$ e y for inteiro, o compilador costuma dar erro, mesmo havendo uma resposta única.

Outro cuidado deve ser tomado no Excel. Ao contrário de outras linguagens de programação, uma expressão do tipo =-A1^2, que, significaria tirar o quadrado de A1 e depois aplicar o sinal menos, no Excel pode significar (-A1)^2. Para evitar este bug (e outros), recomenda-se o uso de parêntesis sempre no Excel, mesmo quando, matematicamente, eles sejam redundantes. Além disso, a exponencial no Excel pode ser substituída por uma função (em português, "POTÊNCIA", em inglês, "POWER"), tornando o código totalmente ilegível.