Álgebra envelopante

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Em matemática, para qualquer álgebra de Lie L pode-se construir a álgebra universal envelopante U(L). Esta construção passa da estrutura não associativa L para uma (mais familiar, e possivelmente mais fácil de manipular) álgebra associativa unital, a qual captura as propriedades importantes de L.

Primeiro note-se a construção universal de Lie de uma álgebra de Lie sobre o corpo K a partir de uma qualquer álgebra associativa A sobre K, com a operação:

[a,b] = abba.

Isto constrói um Lie Bracket a partir de uma operação associativa, o comutador. Denota-se esta álgebra de Lie por AL.

A construção da álgebra envelopante universal U ( L) tenta reverter este processo: para uma dada álgebra de Lie L sobre K, é possível encontrar a álgebra K associativa unital "mais geral" A= U ( K ) tal que a álgebra de Lie AL contenha L. A condição importante é preservar a teoria da representação: as representações de L correspondem de uma forma "um-para-um" com os módulos sobre U(L). No contexto típico onde L está a atuar por transformações infinitesimais, os elementos de U(L) atuam como operadores diferenciais, para cada uma das ordens.

Após a generalização para as álgebras de Lie, a construção da algebra envelopante tem sido generalizada para álgebras de Macey [1] , algebras de Bol [2] e álgebras adjuntas à esquerda[3] .

Motivação[editar | editar código-fonte]

As representações de álgebras de Lie constituem a maior fonte de estudos e aplicações para as álgebras de Lie. Uma representação de uma álgebra com unidade A é [4] um espaço vetorial V e uma aplicação linear \rho : A \to \text{End } V que preserva a multiplicação e a identidade da álgebra. Questões naturais sobre representações de álgebras são classificação de representações irredutíveis sobre A, classificação de representações indecomponíveis sobre A ou a classificação de todas as representações irredutíveis em espaços vetoriais de dimensão finita.

As representações da álgebra envelopante universal de uma álgebra A constrói-se de tal forma que as propriedades gerais das representações de A em relação ao produto são preservadas. Por exemplo, para uma representação podemos ter ρ(x)ρ(y) = 0, enquanto que em outras representações tal pode não acontecer.

Aparenta ser verdade que certas propriedades das representações são universais, e a álgebra envelopante absorve todas essas propriedades.

Propriedade universal[editar | editar código-fonte]

O functor que atribui a cada álgebra X a sua álgebra envelopante universal U(X) é o functior adjunto esquerdo da construção universal de Lie B \to B_L.

Isto quer dizer que a álgebra U(X) diz-se álgebra envelopante universal de X se existe g: X \to U(X)_L tal que para cada f:X \to A_L existe h: U(X) \to A tal que  f = h_L \circ g, onde f, g, h são homomorfismos de álgebras.

Tal formulação univesal implica que, a existir, a álgebra envelopante universal é única a menos de isomorfismo.

Construção[editar | editar código-fonte]

A construção é super simples, tendo em conta que almejamos a propriedade universal. Tal construção vai provar que o functor álgebra envelopante universal existe para as álgebras de Lie.

Tomemos a álgebra de Lie L com uma operação [ \cdot , \cdot ] de Lie, e consideremos a álgebra tensorial TL, e o seu ideal I gerado por

 a \otimes b - b \otimes a - [a,b] | a, b \in L

Então  U ( L ) = TL / I, com a projeção natural L \to TL \to U ( L ) dá origem à estrutura álgébrica pretendida.

Para superálgebras de Lie, a generalização é trivial, pelo que elas também têm uma álgebra envelopante universal.


Ver também[editar | editar código-fonte]


Referências gerais[editar | editar código-fonte]

  1. J.M. Perez-Izquierdo, I.P. Shestakov: An envelope for Malcev algebras, Journal of Algebra 272 (2004) 379–393.
  2. J.M. Perez-Izquierdo: An envelope for Bol algebras, Journal of Algebra 284 (2005) 480–493.
  3. Rukavicka Josef: An envelope for left alternative algebras, International Journal of Algebra, Vol. 7, 2013, no. 10, 455–462, [1]
  4. P. Etingof, et.al: Introduction to Representation Theory