Álgebra envelopante

Em matemática, para qualquer álgebra de Lie L uma pode construir sua álgebra universal envelopante U(L). Esta construção passa da estrurura não associativa L para uma (mais familiar, e possivelmente mais fácil de manipular) álgebra associativa unital a qual captura as propriedades importantes de L.

Para entender-se a idéia básica desta construção, primeiro note-se que qualquer álgebra associativa A sobre o corpo K torna-se uma álgebra de Lie sobre K com o "Crochet" de Lie:

[a,b] = ab − ba.

Isto é, de um produto associativo, pode-se construir um crochet de Lie simplesmente tomando o comutador relaionado a este produto associativo. Denota-se esta álgebra de Lie por A_L.

A construção da álgebra envelopante universal tenta reverter este processo: para uma dada álgebra de Lie L sobre K nós encontramos a álgebra K associativa unital "mais geral" A tal que a álgebra de Lie A_L contenha L; esta álgebra A é U(L). A condição importante é preservar a teoria da representação: as representações de L correspondem em uma forma "um-para-um" com os módulos sobre U(L). Em um contexto típico onde L está atuando por transformações infinitesimais, os elementos de U(L) atuam como operadores diferenciais, de todas as maneiras.

Referências gerais

• Dixmier, Jacques, Enveloping algebras. Impressão revisada da tradução de 1977. Graduate Studies in Mathematics, 11. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996. xx+379 pp. ISBN 0-8218-0560-6