Conectivo lógico bicondicional

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Na Lógica e Matemática, a Lógica bicondicional (também conhecida como bicondicional material) é o Conectivo lógico de duas proposições afirmando "p Se_e_somente_se q", onde q é uma Hipótese (ou antecedente) e p é um conclusão (ou consequente).[1] Isso é frequentemente abreviado p sse q. O operador é denotado usando uma seta de dupla implicação (↔), a prefixed E (Epq), um sinal de igualdade (=),um sinal de equivalência (≡), ou EQV. Isso é logicamente equivalente a (p → q) ∧ (q → p), ou o XNOR (nor exclusivo) operador da Álgebra_booleana.Isto é equivalente a "(não p ou q) e (não q ou p)". Também é logicamente equivalente a "(p e q) ou (não p e não q)",significando "os dois ou nenhum".

A única diferença paraCondicional_material é o caso no qual a hipótese é falsa mas a conclusão é verdadeira. Neste caso, na condicional, o resultado é verdadeiro, contudo, na bicondicional o resultado é falso.

Na interpretação conceitual, a = b significa "Todos os a 's são b 's e todos os b 's são a 's"; Em outras palavras, os conjuntos a e b coincidem: eles são idênticos. Isso não significa que todos os conceitos têm o mesmo significado. Exemplos: "triângulo" e "trilateral", "triângulo equiangular" e "triângulo equilátero". O antecedente é o "sujeito" e o consequente é o e predicado de uma afirmativa/ Proposição universal.

Na interpretação proposicional, ab significa que a implica b e b implica a; em outras palavras, que as proposições são equivalentes, o que é dizer, ambas são verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Isso não significa que elas tem o mesmo significado. Exemplo: "O triângulo ABC tem dois lados iguais", e "O triângulo ABC tem 2 ângulos iguais". O antecedente é a premissa ou a causa e o consequente é a consequência. Quando uma implicação é traduzida por um julgamento hipotético (ou condicional) O antecedente é chamado de "hipótese (ou de condição) e o consequente é chamado de tese.

Uma forma comum de se demonstrar um bicondicional é usar sua equivalência para a conjunção de duas condicionais ,em que há uma troca entre a hipótese e a conclusão, as demonstrando separadamente.

Quando ambos os membros da bicondicional são proposições, ela pode ser dividida em duas condicionais, na qual uma é chamada de teoremae a outra é sua recíproca.[carece de fontes?]Assim, sempre que um teorema e sua recíproca são verdadeiros, temos um bicondicional. Um simples teorema dá origem a uma implicação cujo antecedente é a hipótese e cujo consequente é a tese do teorema. condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência. Muitas vezes é dito que a hipótese é a condição suficiente da tese, e a tese a condição necessária da hipótese; isto é, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para a tese de ser verdadeira também; embora seja necessário que a tese seja verdadeira para a hipótese de ser verdade também. Quando um teorema e sua recíproca são verdadeiros, dizemos que a sua hipótese é a condição necessária e suficiente da tese, ou seja, que é ao mesmo tempo, tanto a causa como consequência.

Definição[editar | editar código-fonte]

Igualdade_lógica (Também conhecida como bicondicional) é uma operação em dois [[Valor_de_verdade]| valores verdade], tipicamente, o valor de duas proposições, que produzem o valor verdadeirose e somente se ambos os operandos são falsos ou ambos os operandos são verdadeiros.

Tabela verdade[editar | editar código-fonte]

A tabela verdade para ~A \leftrightarrow B (também escritos como A ≡ B, A = B, or A EQ B) como a seguir:

INPUT OUTPUT
A B A ~ \leftrightarrow ~ B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


Mais de duas proposições combinadas por ~\leftrightarrow~ são ambíguas:

~x_1 \leftrightarrow x_2 \leftrightarrow x_3 \leftrightarrow ... \leftrightarrow x_n pode estar significando ~(((x_1 \leftrightarrow x_2) \leftrightarrow x_3) \leftrightarrow ...) \leftrightarrow x_n,

Ou pode ser usado para dizer que todos os ~x_i~ são todos verdadeiros ou todos falsos: (~x_1 \and ... \and x_n~)~\or~(\neg x_1 \and ... \and \neg x_n)

Só para o zero ou para dois argumentos isso é o mesmo.

As próximas tabelas verdades mostram o mesmo padrão apenas na linha com nenhum argumento e nas linhas com dois argumentos:

~x_1 \leftrightarrow ... \leftrightarrow x_n
concebido como equivalente a
\neg~(\neg x_1 \oplus ... \oplus \neg x_n)

O diagrama de Venn central abaixo,
e a linha (ABC  ) nesta matriz
representam a mesma operação.
~x_1 \leftrightarrow ... \leftrightarrow x_n
concebido como uma simplificação para
(~x_1 \and ... \and x_n~)
\or~(\neg x_1 \and ... \and \neg x_n)

O diagrama de bem exatamente abaixo,
e a linha (ABC  )nesta matriz
representam a mesma operação.


The left Venn diagram below, and the lines (AB    ) in these matrices represent the same operation.

Diagramas de Venn[editar | editar código-fonte]

As áreas vermelhas representam verdadeiro (como em Venn0001.svg para Disjunção_lógica|e).

Venn1001.svg
A bicondicional de duas proposições
é a Negação da ou exclusivo:
~A \leftrightarrow B~~\Leftrightarrow~~\neg(A \oplus B)

Venn1001.svg \Leftrightarrow \neg Venn0110.svg

Venn 0110 1001.svg
O bicondicional e o
ou exclusivo de três proposições
dá o mesmo resultado:

~A \leftrightarrow B \leftrightarrow C~~\Leftrightarrow
~A \oplus B \oplus C

Venn 1001 1001.svg \leftrightarrow Venn 0000 1111.svg ~~\Leftrightarrow~~

Venn 0110 0110.svg \oplus Venn 0000 1111.svg ~~\Leftrightarrow~~ Venn 0110 1001.svg

Venn 1000 0001.svg
Mas ~A \leftrightarrow B \leftrightarrow C
pode também ser usado como uma abreviação
para (A \leftrightarrow B) \and (B \leftrightarrow C)

Venn 1001 1001.svg \and Venn 1100 0011.svg ~~\Leftrightarrow~~ Venn 1000 0001.svg

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Comutatividade: sim

A \leftrightarrow B     \Leftrightarrow     B \leftrightarrow A
Venn1001.svg     \Leftrightarrow     Venn1001.svg

Associatividade: sim

~A ~~~\leftrightarrow~~~ (B \leftrightarrow C)     \Leftrightarrow     (A \leftrightarrow B) ~~~\leftrightarrow~~~ ~C
Venn 0101 0101.svg ~~~\leftrightarrow~~~ Venn 1100 0011.svg     \Leftrightarrow     Venn 0110 1001.svg     \Leftrightarrow     Venn 1001 1001.svg ~~~\leftrightarrow~~~ Venn 0000 1111.svg

Distributividade: Bicondicionais dão distribuem entre nenhuma função binária (nem a si mesmo),
Mas a disjunção lógica (veja aqui)se distribui sobre bicondicionais.

Função_monótona: não

~A~ ~\leftrightarrow~ ~A~     \Leftrightarrow     ~1~     \nLeftrightarrow     ~A~
Venn01.svg ~\leftrightarrow~ Venn01.svg     \Leftrightarrow     Venn11.svg     \nLeftrightarrow     Venn01.svg

monotonicity: no

A \rightarrow B     \nRightarrow     (A \leftrightarrow C) \rightarrow (B \leftrightarrow C)
Venn 1011 1011.svg     \nRightarrow     Venn 1101 1011.svg     \Leftrightarrow     Venn 1010 0101.svg \rightarrow Venn 1100 0011.svg

verdade preservada: sim
Quando todas as entradas são verdadeiras, a saída é verdadeira.

A \and B     \Rightarrow     A \leftrightarrow B
Venn0001.svg     \Rightarrow     Venn1001.svg

falsidade de preservação: não
Quando todos as entradas são falsas, a saída não é falsa.

A \leftrightarrow B     \nRightarrow     A \or B
Venn1001.svg     \nRightarrow     Venn0111.svg

Walsh spectrum: (2,0,0,2)

Nãolinearidade: 0 (a função é linear)

Regras de inferência[editar | editar código-fonte]

Como todos os conectivos em lógica de primeira ordem, a bicondicional tem regras de inferência que governam seu uso em provas formais.

introdução bicondicional[editar | editar código-fonte]

Introdução_Bicondicional permite inferir que, se B se segue a partir de A, e A Decorre B, então A Se_e_somente_se B. Por exemplo, a partir das declarações "se eu estou respirando, então eu estou vivo" e "se eu estou vivo, então eu estou respirando", pode-se inferir que "eu estou respirando, se e somente se eu estiver vivo "ou, igualmente inferível:" Eu estou vivo, se e somente se eu estou respirando. "

 B → A   
 A → B   
 ∴  A ↔ B
 B → A   
 A → B   
 ∴  B ↔ A

Eliminação da bicondicional[editar | editar código-fonte]

Eliminação Biconditional permite inferir uma a condicional de um bicondicional: if (A ↔ B) é verdadeira, então pode-se inferir um sentido da bicondicional, (A → B) e (B → A).

Por exemplo, se é verdade que eu estou respirando, se e somente se, eu estou vivo, então é verdade que se eu estou respirando, eu estou vivo, do mesmo modo, é verdade que se eu estou vivo, eu estou respirando . formalmente:

 ( A ↔ B )  
 ∴ ( A → B )

também

 ( A ↔ B )  
 ∴ ( B → A )

Uso coloquial[editar | editar código-fonte]

Uma maneira inequívoca de afirmar uma bicondicional em português é da forma "b se um e se b". Outra é "a se e somente se b". Um pouco mais formal, pode-se dizer "b implica a e a implica b". Em português "se" pode às vezes ser usado como um bicondicional. É preciso pesar contexto fortemente.

Por exemplo, "eu vou te comprar uma nova carteira, se você precisa de uma" pode ser entendida como uma bicondicional, uma vez que o orador não tem a intenção de um resultado válido para estar comprando a carteira ou não a carteira é necessário (como em uma condicional). No entanto, "está nublado, se está chovendo" não é concebida como um bicondicional, uma vez que pode ser nublado, enquanto não chover.

ver também[editar | editar código-fonte]

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  • Thinking

Notas[editar | editar código-fonte]

  1. Handbook of Logic, page 81

References[editar | editar código-fonte]

Predefinição:Logical connectives Predefinição:PlanetMath attribution