Corpo das funções racionais

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Corpo das funções racionais, em álgebra, se refere ao corpo cujos elementos são a divisão entre dois polinômios, dotado de operações de soma e produto que satisfazem as operações usuais de frações.

Assim como o termo polinômio pode significar uma função polinomial ou pode significar um polinômio no sentido formal,[1] [Nota 1] o corpo das funções racionais também pode significar dois objetos matemáticos, um corpo formado por funções, ou um corpo definido de forma abstrata.

Construção como um corpo de funções[editar | editar código-fonte]

O corpo da funções racionais com elementos reais pode ser rigorosamente construído a partir das funções racionais. Uma função racional é uma função que pode ser escrita como:

f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}
f(x) = \frac{ a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \ldots + a_0} {b_n x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0}\,

em que bn ≠ 0. Pode-se supor, sem perda de generalidade, que bn = 1.[2]

Um cuidado importante deve ser tomado na definição de igualdade entre duas funções racionais. Pois pode ocorrer que duas funções racionais f e g possam ter domínios diferentes, como no caso em que o numerador e o denominador de f não tenha fatores comuns, mas eles tenham algum fator comum em g, e este fator comum tenha raízes reais. Assim, a igualdade f = g deve ser definida a menos de um número finito de elementos, ou seja, quando para todo x real, exceto um conjunto finito, f(x) = g(x).[2]

Para definir F, o corpo das funções racionais, é preciso definir a soma (+), o produto (.) e os elementos neutros destas operações, respectivamente 0 e 1. Os elementos neutros são as funções constantes, ou seja 0F é a função constante 0F(x) = 0, etc.[2] [Nota 2]

Um cuidado adicional é necessário para se definir f + g e f . g, pois as definições usuais através de frações:

(\frac{p}{q} + \frac{r}{s})(x) = \frac{p(x) s(x) + q(x) r(x)} {q(x) s(x)}\,
(\frac{p}{q} . \frac{r}{s})(x) = \frac{p(x) r(x)} {q(x) s(x)}\,

tem o problema de que o resultado da operação é uma função racional cujo domínio é pelo menos tão restrito quanto f e g, ou seja, seu domínio é \mbox{dom} f \cap \mbox{dom} g\,. Então, a definição rigorosa de f + g e f . g consiste em aplicar estas fórmulas e cancelar os fatores comuns no resultado.[2]

Exemplificando, sejam:

f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}\,
g(x) = \frac{x}{x^2 - 1}\,

que são funções racionais cujo domínio exclui os números 1 e -1. Sua soma f + g é a função:

\frac{1}{x^2 - 1} + \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{1 + x}{x^2 - 1} = \frac{1}{x - 1}\,

que é uma função cujo domínio inclui -1 mas não inclui 1.[2]

Com estas definições, temos o seguinte teorema:

F, com +, ., 0 e 1 definidos acima, é um corpo

a demonstração dá algum trabalho, pois é preciso, a cada etapa, remover as singularidades das operações. O inverso aditivo é trivial, -f é a função (-f)(x) = -f(x), e o inverso multiplicativo, chamado f-1 [Nota 3] é definido naturalmente como:

f = p/q então f-1 = q/p

e é imediato mostrar que f(x) . f-1(x) = 1 para todo real x, exceto nos pontos que não estão nos domínios de f e f-1, o que completa a demonstração.[2]

Como para todo número real existe uma função racional constante cujo contradomínio é este número, o corpo dos números reais pode ser considerado um subcorpo do corpo das funções racionais.[2]

Construção como o corpo de frações do anel dos polinômios[editar | editar código-fonte]

Dado um domínio de integridade D, existe um único (a menos de isomorfismo) corpo de frações F de D, que é, formalmente, dado pelas classes de equivalência r/s, com r e s elementos de D.[1]

Dado um corpo K qualquer, K[x], o anel dos polinômios em K, é um domínio de integridade. O corpo das funções racionais em K, definido como K(x), é o corpo de frações deste domínio de integridade.[1]

Quando α é um elemento transcendente sobre K, então o corpo K(α) é isomórfico ao corpo das funções racionais em K.[1]

Como um corpo ordenado[editar | editar código-fonte]

No caso do corpo das funções racionais reais,[Nota 4] é possível construir uma relação de ordem total de forma que este corpo seja um corpo ordenado.[2]

Intuitivamente, esta relação é definida considerando-se a função racional f(x) = x como sendo infinitamente grande, ou seja, 1 < x, 2 < x, 3 < x, etc.[2]

Formalmente, um elemento do corpo das funções racionais

f(x) = \frac{ a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + \ldots + a_0} {x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \ldots + b_0}\,

é considerado positivo se, e somente se, am > 0.[2]

Este corpo ordenado é não arquimediano.[2]

Notas e referências

Notas

  1. No caso dos números racionais ou números reais, existe uma identidade entre as funções polinomiais e os polinômios, mas isto não é válido para corpos finitos. Por exemplo, em \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}\,, o corpo GL(2) que possui apenas dois elementos, a função polinomial f(x) = x2 + x + 1 é igual à função polinomial f(x) = 1, porém os polinômios p(x) = x2 + x + 1 e q(x) = 1 são distintos.
  2. A notação 0F é usada em outros textos de matemática para deixar claro que o zero do corpo dos polinômios não é a mesma coisa que o zero dos números reais. No texto de Enderton, o mesmo símbolo é usado para os dois zeros.
  3. Enderton chama a atenção para o cuidado que se deve tomar com esta notação, pois, normalmente, f-1 é a notação da função inversa.
  4. A construção se aplica para qualquer outro corpo ordenado.

Referências

  1. a b c d Garrett, Abstract Algebra, 2. Fields of fractions, fields of rational functions [em linha]
  2. a b c d e f g h i j k H. B. Enderton, Field of Rational Functions [em linha]